2017-2021年研究生《高等数值分析》试卷及答案.pdf

一、

(1)令g(t)=(A(x+th)−b,A(x+th)−b)+λ(x+th,x+th),

g(0)=2(Ax−b,Ah)+2λ(x,h)

TT

A2(AAxbλx,h)

A2(AAxbTTλx)

所以F’(x)=0

(2)当λ→0，x收敛于Ax=b的精确解，如果λ很小，求解病态方程不稳定，当λ

λ

很大时，虽然可以求出x，但是相对误差很大，因此要选取合适的λ。

n

(3)变分原理：A∈R,A是对称正定的，则Ax’=b⇔φ(x’)=minφ(x);

λ2

φ(x+λy)(Ay,y)+λ(Ax-b,y)+φ(x)⇔

2

λ2

若Ax’=b，则φ(x+λy)(Ay,y)+φ(x’)φ(x’),由λ、y的任意性可知，φ(x’)=minφ(x)；

2

dφ(λy)x

则0，即（Ax’-b,y）=0,由y的任意性可知，一般做法是在X点找下

k

dλ

φ，φ(φ)=minφ(φ)，

山方向P,再确定步长使X+PX+P对不同的选择下山方向的

kkkkkk

方法形成不同的算法。

最速下降法和共轭梯度法：

联系第一步都是选择负梯度方向为下山方向；

区别最速下降法的下山方向始终是负梯度方向，而共轭梯度法对于k1步不

再是负梯度方向，而是取经过点X由向量r和p所张成的二维平面内，下降最

k

快的方向为新的下山方向。

二、

三、

不动点迭代：

牛顿迭代法：

一、

拉格朗日插值:



x1x2x3x4x0x2x3x4

l0,l1



0102030410121314



x1x0x3x4x1x2x0x4

l2,l3



2121232431323034