高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)1.2空间向量基本定理(原卷版+解析).docxVIP

1.2空间向量基本定理

备注：资料包含：1.基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间向量基底的概念；用空间基底表示向量；空间向量基本定理的应用

课堂知识小结

考点巩固提升

知识归纳

空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

考点1：空间向量基底的概念

例1．已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（???????）

A． B． C． D．

【方法技巧】

1.根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念判断

2.根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．

【变式训练】

【变式1】．在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（???????）

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点不共面

D．O，A，B，C四点中任意三点不共线

【变式2】（多选）．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（???????）

A．若，，则

B．若，，两两共面，则，，共面

C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得

D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

【变式3】．已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．

考点2：用空间基底表示向量

例2．三棱柱中，为棱的中点，若，则（???????）

A．

B．

C．

D．

【方法技巧】

1.空间向量的基底

2.由空间向量的线性运算求解．

【变式训练】

【变式1】．如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______.

【变式2】．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．

【变式3】．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．

(1)证明：、、、四点共面．

(2)若，求．

考点3：空间向量基本定理的应用

例3．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则__．

【方法技巧】

1.利用基底概念。

2.结合各种计算，求出所需结果

【变式训练】

【变式1】．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（???????）

A． B．

C． D．

【变式2】．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（???????）

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

【变式3】．（多选）如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（???????）

A．

B．向量共面

C．

D．若，则该平行六面体的高为

空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

一、单选题

1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（）

A．++ B．+

C．++ D．+

2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（???????）

A． B． C． D．2

3．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（???????）

A． B． C． D．

4．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是

A． B． C． D．或

5．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（???????）．

A．，， B．，1，

C．，1， D．，1，

6．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（???????）

A． B．

C． D．

7．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基