高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.1.2 空间向量的数量积运算(附答案).docxVIP

1.1.2空间向量的数量积运算

【考点梳理】

考点一空间向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.

考点二空间向量的数量积

定义

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

性质

①a⊥b?a·b＝0

②a·a＝a2＝|a|2

运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

考点三向量a的投影

1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．

2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．

【题型归纳】

题型一：空间向量的数量积的运算

1．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（???????）．

A．6 B． C．3 D．

2．如图，在平行六面体中，，，则（???????）

A．1 B． C．9 D．3

3．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：

①；②；③；④.

其中正确的个数为（???????）

A． B． C． D．

题型二：求空间向量的数量积

4．如图，在平行六面体中，，，，则（???????）

A．12 B．8 C．6 D．4

5．如图，已知正方体，设，，，则（???????）.

A． B． C． D．

6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（???????）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）

7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（???????）

A． B． C． D．

8．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（???????）

A． B． C． D．

9．在平行六面体中，，，，，则（???????）

A． B． C．0 D．

题型四：空间向量的数量积的综合

10．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．

(1)求；(2)求．

11．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:

(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.

12．平行六面体，

(1)若，，，，，，求长；

(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．

【双基达标】

一、单选题

13．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（???????）

A． B． C． D．

14．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（???????）

A．1 B． C． D．

15．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（???????）

A． B． C． D．

16．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（???????）

A．5 B． C． D．

17．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（???????）

A． B． C． D．

18．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（???????）

A． B． C．或 D．3或

19．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（???????）

A． B． C． D．

20．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（???????）

A． B．3 C． D．2

21．如图，在单位正方体中，设，，，求：

(1)；(2)；(3)．

22．如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)确定在平面上的投影向量，并求；

(2)确定在上的投影向量，并求．

【高分突破】