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重难点专题01数列通项公式的12种常见求法
备注:资料包含:1.基础知识归纳;
考点分析及解题方法归纳:考点包含:判断或写出数列中的项;观察法求通项公式;等差数列公式法求通项公式;等比数列公式法求通项公式;累加法求通项公式;累乘法求通项公式;递推公式为与的关系式;构造等比数列法求通项公式;构造等差数列法求通项公式;倒数求通项公式;对数法求通项公式;前n项积通项公式
课堂知识小结
考点巩固提升
知识归纳
求通项公式的方法:
(1)观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式an;
(2)利用前n项和与通项的关系an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn-Sn-1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(?n=1?,,?n≥2?;))
(3)公式法:利用等差(比)数列求通项公式;
1、等差数列公式
推论公式:a
2.推论公式:an
(4)累加法:如an+1-an=f(n),累积法,如eq\f(an+1,an)=f(n);
(5)转化法:an+1=Aan+B(A≠0,且A≠1).等
考点1:判断或写出数列中的项例1.(多选题)下列数中,是数列中的一项的是(????)
A.90 B.29 C.30 D.23
【方法技巧】
必为偶数,故排除B与D,再分别令,看方程是否有正整数解即可
【变式训练】
1.若一数列为1,,,,…,则是这个数列的(????).
A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项
2.已知数列的通项公式为.则12是该数列的第(????)项.
A.2 B.3 C.4 D.5
3.数列满足,,则等于(????)
A. B. C.2 D.
【答案】A
【分析】根据递推关系得出数列前几项,归纳可知数列具有周期性,利用周期求解即可.
考点2:观察法求通项公式
例2.写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.
(1),,,;
(2),,,;
(3)3,4,3,4;
(4)6,66,666,6666.
【方法技巧】
通过观察找出规律,写出通项公式。
【变式训练】
1.数列2,0,2,0,…的一个通项公式为______.
2.将正奇数排列如下表,其中第i行第j个数表示,例如,若,则______.
3.数列0.1,0.01,0.001,0.0001,…的一个通项公式______.
考点3:等差数列公式法求通项公式
例3.已知数列为等差数列,,那么数列的通项公式为(????)
A. B. C. D.
【方法技巧】
等差数列公式
推论公式:a
【变式训练】
1.在数列中,,则等于___________.
2.若数列是公差为1的等差数列,且,则___________,___________.
考点4:等比数列公式法求通项公式
例4.在数列中,,且,则(????)
A. B. C. D.
【方法技巧】
推论公式:an
【变式训练】
1.若一个等比数列的公比为3,且首项为2,则该数列的第4项为(????)
A.18 B.36 C.54 D.162
2.正项数列满足,则=_________.
考点5:累加法求通项公式
例5.在数列中,,,则(????).
A.659 B.661 C.663 D.665
【方法技巧】
累加法:如an+1-an=f(n)
【变式训练】
1.已知数列,,且,.求数列的通项公式________;
2.已知数列满足,且,求数列的通项公式;
考点6:累乘法求通项公式
例6.在数列中,(n∈N*),且,则数列的通项公式________.
【方法技巧】
累积法,如eq\f(an+1,an)=f(n);
【变式训练】
1.设是首项为1的正项数列且,且,求数列的通项公式_________
2.数列满足:,,则数列的通项________________.
考点7:递推公式为与的关系式。
例7.已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
【方法技巧】
解法:这种类型一般利用
【变式训练】
1.已知数列满足条件,则数列的通项公式为___________.
2.已知数列满足(且),且,则___________.
3.在数列中,点在直线上,其中是数列的前项和.
求证:数列是等比数列.
考点8:构造等比数列法求通项公式
例8.已知数列,,求数列
【方法技巧】
(其中p,q均为常数,且)。
【变式训练】
1.已知数列中,,,则通项公式____________.
2.设数列的前n项和为,,,则___________.
考点9:构造等差数列法求通项公式
例9.数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为___________.
【方法技巧】
【变式训练】
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