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3.1.1椭圆及其标准方程
备注:资料包含:1.基础知识归纳;
考点分析及解题方法归纳:考点包含:椭圆定义及辨析;判断是否为椭圆;利用椭圆定义求方程;椭圆中焦点三角形周长问题;椭圆中焦点三角形面积问题;椭圆中焦点到定点的和、差距离和最值;根据椭圆方程求参数;椭圆的轨迹问题
课堂知识小结
考点巩固提升
知识归纳
知识点一:椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的标准方程
1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中
2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有和;
3.椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
考点1:椭圆定义及辨析
例1.如图,,分别是椭圆的左、右焦点,点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个焦点,延长与椭圆交于点Q,若,则直线的斜率为(????)
A.-4 B.-3 C. D.-2??
【方法技巧】
根据椭圆的定义,结合勾股定理、圆的性质、锐角三角函数定义、斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【变式训练】
1.已知椭圆的左?右焦点分别为,点为椭圆的上顶点,直线与椭圆的另一个交点为,若,则___________.
2.若椭圆上一点到焦点的距离为,则点到另一焦点的距离为______.
3.若动点的坐标满足方程,试判断动点的轨迹,并写出其标准方程.
考点2:判断是否为椭圆
例2.设方程①;②.其中表示椭圆的方程是______.
【方法技巧】
根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可.
【变式训练】
1.已知条件:,条件:表示一个椭圆,则是的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(多选)在曲线中,(????)
A.当时,则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B.当时,则曲线C为椭圆
C.曲线C关于直线对称
D.当时,则曲线C的焦距为
3.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件.
考点3:利用椭圆定义求方程
例3.一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【方法技巧】
由圆的外切与内切,结合椭圆定义得出点轨迹是椭圆,然后可求得其方程.
【详解】设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为、,
【变式训练】
1.椭圆的焦点为,,与轴的一个交点为,若,则(????)
A.1 B. C. D.2
2.已知,是椭圆C的两个焦点,过且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且,则椭圆C的标准方程为(????)
A. B. C. D.
3.如图,已知椭圆C的中心为坐标原点O,为C的左焦点,P为C上一点,且满足,,则椭圆C的标准方程为______.
考点4:椭圆中焦点三角形周长问题
例4.已知分别为椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于P,Q两点,则的周长为______.
【方法技巧】
首先得到椭圆的焦点坐标,即可判断直线过左焦点,再根据椭圆的定义计算可得;
【变式训练】
1.经过椭圆的左焦点,作不垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A、B两点,是椭圆的右焦点,则的周长为______.
2.已知椭圆的方程为,过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点,是椭圆的右焦点,则的周长的最小值为______.
考点4:椭圆中焦点三角形面积问题
例4.已知点是椭圆上一点,是其左右焦点,且,则三角形的面积为_________
【方法技巧】
由椭圆方程可得,利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得,由三角形面积公式可求得结果.
【变式训练】1.已知,是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,且,则的内切圆的半径(????)
A.
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