高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.1.1 空间向量及其线性运算(附答案).docxVIP

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

【考点梳理】

考点一空间向量的概念

1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

2．长度或模：向量的大小．

3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

4．几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

共线向量(平行向量)

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

考点二空间向量的线性运算

空间向量的线性运算

加法

a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))

减法

a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))

数乘

当λ0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；

当λ0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；

当λ＝0时，λa＝0

运算律

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

考点三共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

考点四共面向量

1．共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

【题型归纳】

题型一：空间向量的概念

1．下列说法正确的是（???????）

A．任一空间向量与它的相反向量都不相等

B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

2．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（???????）．

A． B． C． D．

3．下列说法正确的是（???????）

A．任一空间向量与它的相反向量都不相等

B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量

D．不相等的两个空间向量的模可能相等

题型二：空间向量的线性运算（加减法）

4．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（??????????）

A． B． C． D．

5．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（???????）

A． B． C． D．

6．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（???????）

A． B． C． D．

题型三：空间两个向量共线的问题

7．向量，，若，则的值为（???????）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（???????）

A． B．

C． D．

9．已知非零向量，则“”是“”的（???????）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件

题型四：空间共面向量定理

10．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是

A． B．

C． D．

11．已知，，，若，，共面，则λ等于（???????）．

A． B．3 C． D．9

12．已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（）

A． B． C． D．

【双基达标】

一、单选题

13．下列说法正确的是（???????）