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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
备注:资料包含:1.基础知识归纳;
考点分析及解题方法归纳:考点包含:两点间的距离;点到直线的距离;点到平面的距离;直线到平面的距离;平面到平面的距离;异面直线的距离;线线夹角;线面夹角;面面夹角
课堂知识小结
考点巩固提升
一、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上,为直线的方向向量,=,则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点,点M为平面内任一点,平面的法向量为,则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑶直线与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直,则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即
二.利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则
⑵求直线和平面所成的角
求法:设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的夹角为,则为的余角或的补角
的余角.即有:
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线,则为二面角的平面角.
如图:
求法:设二面角的两个半平面的法向量分别为,再设的夹角为,二面角的平面角为,则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角:
如果是锐角,则,即;
如果是钝角,则,即.
考点1:两点之间的距离
例1.已知直三棱柱中,,为中点,为中点,求
【方法技巧】
本题考查空间线段长度计算,建立空间直角坐标系,将长度计算转化为坐标计算,难度较易.已知,所以.
【变式训练】
【变式】.已知正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系,
(1)求正方体各顶点的坐标;
(2)求A1C的长度.
考点2:点到直线的距离
例2.(2022辽宁省大连市三模)如图,在正三棱柱中,若,,则点到直线的距离为___________.
【方法技巧】
若Q为直线外的一点,在直线上,为直线的方向向量,=,则点Q到直线距离为
【变式训练】
【变式】.设为矩形所在平面外的一点,直线平面,,,.求点到直线的距离.
考点3:点到平面的距离
例3:(2022·河南郑州·二模(理))如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为(???????)
A. B. C. D.
【方法技巧】
若点P为平面外一点,点M为平面内任一点,平面的法向量为,则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
【变式训练】
【变式】.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中.求点到平面的距离.
考点4:直线到平面的距离
例4:正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是(???????)
A. B. C. D.
【方法技巧】
当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。即
【变式训练】
【变式】.如图,在直三棱柱中,,是棱的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)求直线到平面的距离.
考点5:两个平面之间的距离
例5:在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求平面与平面之间的距离.
【方法技巧】
利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
【变式训练】
【变式】在正方体中,M,N,E,F分别为,,,的中点,棱长为4,求平面MNA与平面EFBD之间的距离.
考点6:两条一面直线之间的距离
例6.正方体的棱长为1,求异面直线与间的距离.
【方法技巧】
设向量与两异面直线都垂直,则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即
【变式训练】
(2007·重庆·高考真题(理))如图,在直三棱柱ABC—中,AB=1,;点D、E分别在上,且,四棱锥与直三棱柱的体积之比为3:5.
(1)求异面直线DE与的距离;
考点7:异面直线的夹角
例7:(2018·全国·高考真题(理))在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【方法技巧】
已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则
【变式训练】
【变式1】(2022·福建龙岩·模拟预测)已知直三棱柱的所有棱长都相等,为的中点,则与所成角的正弦值为(??????
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