高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.2.2 双曲线的简单几何性质(附答案).docxVIP

3.2.2双曲线的简单几何性质

【考点梳理】

考点一：双曲线的性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a

y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)

a，b，c间的关系

c2＝a2＋b2(ca0，cb0)

考点二：等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).

考点三:直线与双曲线的位置关系

设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ0?直线与双曲线有两个公共点；

Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点；

Δ0?直线与双曲线有0个公共点．

考点四：弦长公式

若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2]).

重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

【题型归纳】

题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）

1．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（????）

A． B． C． D．

2．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为?????????????????????????（????）

A． B．6 C． D．8

3．以双曲线的焦点为椭圆C的长轴顶点，且过点的椭圆C的方程为（????）

A． B．

C． D．

题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）

4．已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（????）

A．8 B． C．6 D．

5．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（）

A． B．

C． D．

6．双曲线：与双曲线：的（????）

A．实轴长相等 B．焦点坐标相同

C．焦距相等 D．离心率相等

题型三：等轴双曲线

7．双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则该双曲线方程为（????）

A． B． C． D．

8．双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（????）

A．2 B． C．3 D．

9．如图，设F1，F2分别为等轴双曲线x2－y2＝a2的左，右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，则cos∠MAN等于()

A． B．－

C． D．－

题型四：双曲线的渐近线问题

10．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．2

11．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（????）

A．1 B． C． D．3

12．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（????）

A． B． C． D．

题型五：双曲线的的离心率问题

13．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（????）

A． B