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初中数学九大几何模型

手拉手模型旋转型全等

等边三角形

【条件】：△和△均为等边三角形；

【结论】：①△≌△；②∠60°；③平分∠

等腰直角三角形

【条件】：△和△均为等腰直角三角形；

【结论】：①△≌△；②∠90°；③平分∠

顶角相等的两任意等腰三角形

【条件】：△和△均为等腰三角形；

且∠∠

【结论】：①△≌△；

②∠∠；

③平分∠

模型二：手拉手模型旋转型相似

一般情况

【条件】：∥，

将△旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△∽△→→→△∽△；

②延长交于点E，必有∠∠

特殊情况

【条件】：∥，∠90°

将△旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△∽△→→→△∽△；

②延长交于点E，必有∠∠；

③∠；④⊥；

⑤连接、，必有；⑥

模型三、对角互补模型

全等型-90°

【条件】：①∠∠90°；②平分∠

【结论】：①；②；③

证明提示：

①作垂直，如图2，证明△≌△

②过点C作⊥，如图3，证明△≌△

※当∠的一边交的延长线于D时（如图4）：

以上三个结论：①；②；

③

全等型-120°

【条件】：①∠2∠120°；②平分∠

【结论】：①；②；③

证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；

②如右下图：在上取一点F，使，证明△为等边三角形。

全等型-任意角ɑ

【条件】：①∠2ɑ，∠180-2ɑ；②；

【结论】：①平分∠；②2·ɑ；

③

※当∠的一边交的延长线于D时（如右下图）：

原结论变成：①；

②；

③。

可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

对角互补模型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③注意平分∠时，

∠∠∠∠如何引导？

模型四：角含半角模型90°

角含半角模型90°1

【条件】：①正方形；②∠45°；

【结论】：①；②△的周长为正方形周长的一半；

也可以这样：

【条件】：①正方形；②；

【结论】：①∠45°；

角含半角模型90°2

【条件】：①正方形；②∠45°；

【结论】：①；

角含半角模型90°3

【条件】：①△；②∠45°；

【结论】：（如图1）

若∠旋转到△外部时，结论仍然成立（如图2）

角含半角模型90°变形

【条件】：①正方形；②∠45°；

【结论】：△为等腰直角三角形；

证明：连接（方法不唯一）

∵∠∠45°，

∴∠∠，又∵∠∠45°；

∴△∽△，∴

∴△∽△，∴△为等腰直角三角形

模型五：倍长中线类模型

倍长中线类模型1

【条件】：①矩形；②；

③；

【结论】：⊥

模型提取：①有平行线∥；②平行线间线段有中点；

可以构造“8”字全等△≌△。

倍长中线类模型2

【条件】：①平行四边形；②2；③；④⊥；

【结论】：∠3∠

辅助线：有平行∥，有中点，延长，构造△≌△，连接构造

等腰△，等腰△。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）

模型六：相似三角形360°旋转模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型倍长中线法

【条件】：①△、△均为等腰直角三角形；②；

【结论】：①；②⊥

辅助线：延长到点G，使，连接、、，证明△为等腰直角三角形；

突破点：△≌△；

难点：证明∠∠

（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型补全法

【条件】：①△、△均为等腰直角三角形；②；

【结论】：①；②⊥

辅助线：构造等腰直角△、△；

辅助线思路：将与转化到与。

任意相似直角三角形360°旋转模型补全法

【条件】：①△∽△；②∠∠90°；③；

【结论】：①；②∠2∠

辅助线：延长到G，使，延长到点H使，补全△、△构造旋转模型。转化与到与，难点在转化∠。

任意相似直角三角形360°旋转模型倍长法

【条件】：①△∽△；②∠∠90°；③；

【结论】：①；②∠2∠

辅助线：延长至M，使，将结论的两个条件转化为证明△∽△，此为难点，

将△∽△继续转化为证明△∽△，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠∠

模型七：最短路程模型

最短路程模型一（将军饮马类）

总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，

最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定

最短路程模型二（点到直线类1）

【条件】：①平分∠；②M为上一定点；③P为上一动点；