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第七章空间解析几何与向量代数
为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术
上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线
方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.
第一节空间直角坐标系
一、空间直角坐标系
xxy
众所周知，实数与数轴上的点一一对应的，二元数组(,)与坐标平面上的点一一
对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间
xyz
中的点与一个三元有序数组(,,)建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.
1.空间直角坐标系的建立
OO
过空间定点作三条互相垂直的数轴，它们都以为原点，并且通常取相同的长度单
xyz
位．这三条数轴分别称为轴、轴、轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以
zxy
右手握住轴，让右手的四指从轴的正向以π/2的角度转向轴的正向，这时大拇指所指
zO
的方向就轴的正向．这个法则叫做右手法则(图71)．这样就组成了空间直角坐标系．
xy
称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．轴与轴所确定
xOyyOzzOx
的坐标面称为坐标面．类似地有坐标面、坐标面．这些坐标面把空间分成八个
xyz
部分，每一部分称为一个卦限(图72)．、、轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦
z
限开始，从轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，
第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图71图72
2.空间中点的直角坐标
MM
设为空间的一点，若过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于
PQRxyzxyzM
，，三点，且这三点在轴、轴、轴上的坐标依次为，，，则点唯一地确定
xyzxyzxy
了一个有序数组(，，)．反之，设给定一个有序数组(，，)，且它们分别在轴、轴
zPQRPQR
和轴上依次对应于，和点，若过，和点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这
Mxyz
三个平面确定了唯一的交点．这样，空间的点就与一个有序数组(，，)之间建立了一一
xyzMMxyz
对应关系(图73)．有序数组(，，)就称为点的坐标，记为(，，)，它们分别称为
横坐标、纵坐标和竖坐标．
O
显然，原点的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点
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