2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含答案）.docx

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2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足1?z1+z=i(i为虚数单位)，则z=(????)

A.i B.?i C.1+i D.1?i

2.在△ABC中，AB?AC=λBA

A.若λμ0，则△ABC是锐角三角形 B.若λμ0，则△ABC是钝角三角形

C.若λμ0，则△ABC是锐角三角形 D.若λμ0，则△ABC是钝角三角形

3.设{an}是公比为q(q≠?1)的无穷等比数列，Sn为其前n项和.若a10，则“q0

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

4.已知平面向量a,b满足|a|=1,?b,

A.2 B.2+1 C.3

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.函数y=cos(?2x)的最小正周期为______．

6.设t∈R，向量a=(2,3)，b=(1?t,t).若a⊥b，则t=

7.若复数z是方程x2+2x+3=0的一个根，则|z|=______．

8.计算：n=1+∞(13

9.设λ∈R，a、b是夹角为120°的两个单位向量，若a+λb在a方向上的投影为2a，则λ=

10.函数y=sin(2x?π6)

11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若22b是a、c的等比中项，则角B

12.已知cos(α+β)=34，cos(α?β)=14

13.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则AB?AM的最大值为______．

14.若0απ，且3sinα=1+cosα，则tanα=______．

15.设ω0，0≤φπ，f(x)=2sin(ωx+φ).如图所示，函数y=f(x)的图像与坐标轴依次交于A、B、C三点，直线BC交函数y=f(x)的图像于点D.若A(?2,0)，且坐标原点O为△ABD的重心，则tan∠ABD=______．

16.已知各项均为正整数的数列a1，a2，…，a8满足：对任意正整数n(2≤n≤7)，均存在i(1≤i≤n?1)，使得an+1=2

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知3c=3bcosA+asinB．

(1)求角B的大小；

(2)当a=22，b=2

18.(本小题14分)

已知z为虚数，且z+1z为实数．

(1)求证：|z|=1；

(2)若z2?zz?

19.(本小题14分)

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，且2Snn+n=2an+1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若{b

20.(本小题18分)

设0≤φπ，f(x)=sin(x+φ).已知函数y=f(x)的图像关于直线x=π2成轴对称．

(1)求函数y=f(x)的表达式；

(2)若tanθ=2，且θ为锐角，求f(4θ)；

(3)设α≥0，g(x)=[f(x)]2

21.(本小题18分)

设n(n≥3)是给定的正整数.对于数列a1，a2，…，an，令集合S={ai+aj|1≤i≤j≤n}．

(1)对于数列?2，0，1，直接写出集合S；(用列举法表示)

(2)设常数d0.若a1，a2，…，an是以a1为首项，d为公差的等差数列，求证：集合S的元素个数为2n?1；

(3)若a1，a2

答案解析

1.B?

2.D?

3.A?

4.C?

5.π?

6.?2?

7.3?

8.38?

9.?2?

10.[0,π3]?

11.π2?

12.?

14.34?

15.33?

16.3?

17.解：(1)由正弦定理得3sinC=3sinBcosA+sinAsinB，

由于C=π?(A+B)，则3sin(A+B)=3sinBcosA+sinAsinB，

展开得3sinAcosB+3sinBcosA=3sinBcosA+sinAsinB，

化简得3cosB=sinB，

则tanB=3，所以B=π3；

(2)由正弦定理，得2

18.(1)证明：设z=a+bi(a,b∈R且b≠0)，

于是z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a?bia2+b2=a+aa2+b2+(b?ba2+b2)i，

因为z+1z∈R，

所以b?ba2+

19.解：(1)a1=1，且2Snn+n=2an+1，

即2Sn+n2=2nan+n，

当n≥2时，2Sn?1+(n?1)2=2(n?1)an?1+n?1，

两式相减可得2an+2n?1=2nan?2(n?1)an?1+1，

化为an