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第一章集合与常用逻辑用语、不等式
1.1集合
课程标准有的放矢
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用韦恩Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a?
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及其记法:
数集
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N*或
Z
Q
R
C
2.集合间的基本关系
分类
文字语言
符号语言
记法
子集
集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素
x∈
A?
(或B?A
真子集
集合A是集合B的子集,但B中存在元素不属于A
A?B,且?
A?
(或B?A
相等
集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素
A?B,
A=
空集
不含任何元素的集合
?x,x??,??
??
3.集合的基本运算
分类
文字语言
符号语言
图形语言
记法
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x
A∪
交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x
A∩
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
{x|x
?U
4.集合运算性质
(1)并集运算性质:A∪B??A;A∪B??B;A∪A=A
(2)交集运算性质:A∩B??A;A∩B??B;A∩A=A
(3)补集运算性质:?U?UA=A;?UU=??;?U
(4)重要等价关系:A∩B=A?A?B?
常用结论
1.子集的传递性:A?B,B?
2.子集个数:集合{a1,a2,?,an}的子集有2n个,非空子集有
3.元素个数:记含有限个元素的集合A,B的元素个数为cardA,cardB,则
自主评价牛刀小试
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何一个集合都至少有两个子集. (×)
(2){xy=x2+1
(3)若{x2,1}={0,1},则x
(4)对于任意两个集合A,B,A∩B?A∪B恒成立.
(5)若?UA∪B=U,则A=
2.已知集合A={x∈N|
A.?∈A B.{?}?A C.0
解:因为A={x∈N|x3}={0,
3.[2023年全国甲卷]设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,
A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{
解:由题意,得?UM={2,3,
4.[2022年新课标Ⅰ卷]若集合M={x|x4},N
A.{x|0≤x
解:M={x|0≤x16}
核心考点精准突破
考点一集合的含义与表示
例1
(1)若1∈{x2,2x,log
解:若x2=1,
当x=1时,集合为{1
当x=-1时,log2-1无意义,
若2x=1,则x=0,此时log
若log2x=1,则x=2,此时集合为
综上,x=1.
(2)已知集合A={x,y|x2+y2≤
A.4 B.5 C.8 D.9
解:因为x2+y2≤3,x∈Z,所以
当x=-1时,原不等式为1+y2≤3
当x=0时,原不等式为y2≤3.又y∈Z,
当x=1时,原不等式为1+y2≤3
所以A={-1,0,0,-1,0,0,0,
【点拨】用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合,要知道{x|y=fx},
变式1
(1)[2023年上海卷]已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|
A.{1} B.{2} C.{3}
解:M={1}.
(2)已知集合M={2,a2},P={-2,-2a},若
A.{1,0} B.{-1,0,1} C.{-2,
解:因为M∪P中有三个元素,且2≠-2,a2≠-2,所以-2a=a2或-2a=2.①当-2a=a2时,解得a=
考点二集合间的基本关系
例2
(1)[2023年四省联考]设集合A={2,3,a2-2a-3},B={0,3},C
A.-3 B.-1
解:因为B?A,所以a2-2a-3
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