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第四章三角函数与解三角形
4.1任意角、弧度制及三角函数的概念
课程标准有的放矢
1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.任意角
(1)正角、负角、零角:一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.任意角包括正角、负角和零角.
(2)角的相等:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
(3)象限角:在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k?360°,
2.弧度制
(1)角度制:用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
(2)弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(3)单位圆:我们把半径为1的圆叫做单位圆.
(4)角度和弧度的换算.
(5)扇形弧长面积公式.半径为R的圆中,圆心角为αrad的角所对的弧长公式:l=αR,圆心角为αrad的扇形的面积公式:S=12
3.三角函数的概念
(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点Px,y,则sinα=y,cosα
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号.
三角函数
定义域(弧度制下)
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
+
+
-
-
cosα
R
+
-
-
+
tanα
{α
π2,
+
-
+
-
4.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
角α的弧度数
0
π6
π4
π3
π2
2π
3π
5π
π
3π
2π
sinα
0
12
22
32
1
32
22
12
0
-1
0
cosα
1
32
22
12
0
-1
-2
-3
-1
0
1
tanα
0
33
1
3
不存在
-3
-1
-3
0
不存在
0
常用结论
1.角的集合
(1)象限角的集合.
象限角
角的集合表示
第一象限角
{x|k
第二象限角
{x|90
第三象限角
{x|180
第四象限角
{x|270
(2)非象限角(轴线角)的集合.
角α终边的位置
角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{α|α
在x轴的非正半轴上
{α|α
在y轴的非负半轴上
{α|α
在y轴的非正半轴上
{α|α
在x轴上
{α|α
在y轴上
{α|α
在坐标轴上
{α|α
2.sin15°=6-24
3.当0απ2时,
自主评价牛刀小试
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角. (×)
(2)角α的三角函数值不会随其终边上点P的位置改变而改变. (√)
(3)不相等的角终边一定不相同. (×)
(4)若α为第二象限角,则sinαtanα0.
(5)α=2kπ+30°k∈Z
2.2024°角的终边所在的象限是(C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:2024°=360°×5+180°+
3.(教材题改编)已知角α的终边经过点P0-4,-3,则cos
A.-35 B.45 C.
解:依题意,得sinα
所以cosπ2+α
4.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是1
解:设扇形的圆心角为α,半径为r.由扇形周长公式和扇形面积公式,得2r+αr=6,αr2=4,消去r,得36α=42+α
核心考点精准突破
考点一象限角与终边相同的角
例1
(1)若α是第四象限角,则π-α是第三象限角;α2是第二或四
解:因为α是第四象限角,
所以-π2+2k
所以-2kπ-α
所以π-2kππ-α-
故π-α是第三象限角
kπ-π4α2kπ,
故填三;二或第四.
(2)【多选题】下列给出的角中,与-113π终边相同的角有(
A.π3 B.13π3 C.
解:与-113π终边相同的角为-11
由π3+2k-2π=
由π3+2k-2π=
由π3+2k-2π=-
由π3+2k-2π=-
故选ABD.
【点拨
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