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重庆市2024-2025学年高二数学下学期3月月考试卷
一、单项选择题
1.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为,设其在时间段内的平均速度为,在时的瞬时速度为,()
A. B. C. D.
【答案】B
2.函数的单调减区间是()
A. B.
C.和 D.
【答案】B
3.下列求导运算正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】B
4.已知函数的导函数为,且满意关系式,则的值等于
A. B.
C. D.
【答案】D
5.已知函数的图像在点处的切线与直线平行,则
A.1 B. C. D.-1
【答案】D
6.若函数在是增函数,则a的取值范围是
A B.
C. D.
【答案】D
7.是定义在非零实数集上的函数,为其导函数,且时,,记,则()
A. B.
C. D.
【答案】C
8.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公切线,则实数a等于()
A.2 B.1 C. D.
【答案】B
二、多项选择题
9.下列问题是排列问题的是()
A.求从甲?乙?丙三名同学中选出两名分别参与数学?物理爱好小组的方法种数
B.求从甲?乙?丙三名同学中选出两名参与一项活动的方法种数
C.求从,,,中选出3个字母的方法种数
D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数
【答案】AD
10.如图是导函数的图象,则下列说法错误的是()
A.为函数的单调递增区间
B.为函数的单调递减区间
C.函数在处取得极大值
D.函数在处取得微小值
【答案】BC
11.已知函数的定义域为R,其导函数的图象如图所示,则对于随意,下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】BC
12.设函数,则下列说法正确的是()
A.定义域是(0,+)
B.x∈(0,1)时,图象位于x轴下方
C.存在单调递增区间
D.有且仅有两个极值点
【答案】BC
三、填空题
13.已知,则_________.
【答案】
14.甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生,现打算推选2名来自不同班的三好学生去参与校三好学生代表大会,共有______种推选方法.
【答案】31
15.设函数f(x)=ex+ae?x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.
【答案】①-1;②..
16.若函数在上有最小值,则实数的取值范围为______________
【答案】
四、解答题
17.已知抛物线y=x2和直线x-y-2=0,求抛物线上一点到该直线的最短距离.
【答案】.
【详解】方法一设P(x,x2)为抛物线上随意一点,则点P到直线x-y-2=0的距离为,所以当时,d最小,最小值为.
方法二由题意设直线x-y+b=0与抛物线y=x2相切,则x2-x-b=0,由得,所以直线与x-y-2=0的距离为,所以抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.
方法三依据题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为,则,所以,所以切点坐标为,切点到直线x-y-2=0的距离,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.
18.已知的一个极值点为2.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)在区间上单调递减,在区间,上单调递增;(2)最小值为,最大值为13.
【详解】(1)因为,所以,
因为的一个极值点为2,
所以,解得,
此时,,
令,得或,
令,得;令,得或,
故函数在区间上单调递减,在区间,上单调递增.
(2)由(1)知,在上为增函数,在上为减函数,
所以是函数的极大值点,又,,,
所以函数在区间上的最小值为,最大值为.
19.已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)探讨函数的单调性;
【答案】(1)
(2)单调性见解析
【小问1详解】
解:当时,,,
∴,又,
∴曲线在处的切线方程为;
【小问2详解】
解:因为.
当时,在上为增函数;
当时,当时,,当时,,
∴在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时,当时,,当时,有,
∴在区间上单调递减,在区间上单调递增.
20.已知函数在时有极值0.
(1)求函数的解析式;
(2)记,若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【小问1详解】
由可得,
因为在时有极值0,
所以,即,解得或,
当时,,
函数在R上单调递增,不满意在时有极值,故舍去.
所以常数a,b的值分别为.
所以.
【小问2详解】
由(1)可知,
,
令,解得,
当或时,当时,,
的递增
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