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重庆市2024-2025学年高一数学下学期期中试题
一?单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,则z=在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】依据复数除法运算法则即可计算.
【详解】由题意,
,在复平面内对应的点位于其次象限,
故选:B
2.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先依据三角形内角和求得,进而利用正弦定理求得.
【详解】由题意可知,,
由正弦定理可知,
所以.
故选:.
3.如图,已知水平放置按斜二测画法得到的直观图为,若,则的面积为()
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直观图与原图的关系,把还原成,然后再求其面积
【详解】解:由题意可知,为直角三角形,且,,
所以的面积为,
故选:C
4.下列命题为真命题的是()
A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;
C.以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
D.棱台的侧棱延长后交于一点.
【答案】D
【解析】
【分析】依据棱柱,棱锥,棱台的定义可推断A,B,C错误,D正确.
【详解】A选项,长方体的侧面并不全等.故A选项错误;
B选项,用一个平行平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台,故B选项错误.
C选项,以直角三角形的始终角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥,故C选项错误;
D选项,棱台可看作用一个平行平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分,所以棱台的侧棱延长后交于一点.故D选项正确.
故选:D.
5.在平行四边形中,设为线段上靠近的三等分点,为线段上靠近的三等分点,,,则向量()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形,利用平面对量加法的三角形法则可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示:
,,
则.
故选:B.
6.已知圆锥的表面积为3π,它的侧面绽开图是一个半圆,则此圆锥的体积为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高,再计算圆锥的体积.
【详解】解:设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线长为l,
由,得,
又,
所以,解得;
所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为.
故选:C.
7.设内角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用切化弦及和差公式进行化简,然后结合正弦定理得到,再由余弦定理求得,代入三角形的面积公式,即可求解.
【详解】由,可得,即,
所以,即,
又由,所以,
即,解得或(舍去),
所以,
又因为C为三角形内角,故,
所以的面积为.
故选:B.
8.设直三棱柱的全部顶点都在一个球面上,且球的体积是,,,则此直三棱柱的高是()
A.1 B.2 C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】先确定底面的外接圆圆心及半径,再确定球心位置,并利用球心和圆心的连线垂直于底面,得到直角三角形,利用勾股定理求解.
【详解】设,
三角形外接圆的半径为,直三棱柱外接球的半径为.
因为,所以,
于是,,.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半,所以.
在中,由,得,.
所以球的体积,解得.
于是直三棱柱的高是.
故选:B.
二?多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列四种说法中正确的有()
A.复数是纯虚数
B.复数中,实部为1,虚部为
C.复数的共轭复数为,则的一个充要条件是
D.(为虚数单位)
【答案】CD
【解析】
【分析】依据纯虚数的概念,可推断A的正误;依据实部虚部的概念,可推断B的正误;依据充分、必要条件的概念,可推断C的正误;依据复数的性质,可推断D的正误,即可得答案.
【详解】对于A:复数的实部为2,故不是纯虚数,故A错误;
对于B:复数中,实部为1,虚部为-2,故B错误;
对于C:设,则,
若,则虚部为,此时,充分性成立,
若,则,则,此时,必要性成立,
所以的一个充要条件是,故C正确;
对于D:因为,所以,故D正确.
故选:CD
10.已知向量,,是与同向单位向量,则下列结论正确的是()
A. B.向量在向量上的投影向量为
C.与的夹角余弦值为 D.若,则
【答案】CD
【解析】
【分析】由共线向量的坐标表示,可判定A;依据向量的几何意义,
求得
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