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题型练3大题专项(一)
三角函数、解三角形综合问题
1.(2024北京,16)在△ABC中,sin2C=3sinC.
(1)求角C;
(2)若b=6,且△ABC的面积为63,求△ABC的周长.
2.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17
(1)求A;
(2)求AC边上的高.
3.在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,
4.(2024广西桂林模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=π3,△ABC的面积为23
(1)若sinB=4sinC,求a;
(2)若a=3,求cosBcosC的值.
5.已知函数f(x)=3acos2ωx2+12asinωx-32a(ω0,a0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x
(1)求ω与a的值;
(2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-π6sinA
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,a=1,求△ABC的周长的取值范围.
题型练3大题专项(一)
三角函数、解三角形综合问题
1.解(1)由sin2C=3sinC,得2sinCcosC=3sinC.
∵角C是三角形的内角,∴sinC0,∴cosC=3
又0Cπ,∴C=π
(2)∵S△ABC=63,∴12absinC=
又b=6,C=π6,∴12×6×a×
解得a=43
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(43)2+62-2×43×6×32=12,∴c=
∴△ABC的周长为43+6+23=63+6.
2.解(1)在△ABC中,∵cosB=-17,∴B∈
∴sinB=1
由正弦定理,得asin
∴sinA=3
∵B∈π2,π,∴A∈
(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=3
如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.
∵sinC=hBC,∴h=BC·sinC=7×
∴AC边上的高为3
3.解方案一:选条件①.
由C=π6和余弦定理,得
由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+
由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=π6和余弦定理,得
由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.
于是3b
由此可得b=c.所以B=C=π
由A+B+C=π,得A=π-π
由②csinA=3,即csin2π3
所以c=b=23,a=6.
因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=23
方案三:选条件③.
由C=π6和余弦定理,得
由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+
由③c=3b,与b=c冲突.
因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.
4.解(1)由A=π3,△ABC的面积为23,得12bcsinπ3=23,所以
由sinB=4sinC,得b=4c,所以b=42,c=2
所以a2=(42)2+(2)2-2×42×2
所以a=26
(2)由正弦定理得3sin
所以b=23sinB,c=23sinC,
所以12sinBsinC=bc=8,所以sinBsinC=2
由B+C=2π3,得cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=-
所以cosBcosC=1
5.解(1)由已知可得f(x)=a32cosωx
∵BC=T2=4,∴T=8,∴ω=
由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=2
(2)由(1)知f(x0)=23sinπ4
即sinπ
∵x0∈-103,23,
∴cosπ4
∴f(x0+1)=23sinπ4x0+π4+π3=23sinπ4x0+π3+π4=23sinπ4x0+π3·cosπ4+cosπ4x
6.解(1)因为sinA-π6sinA
所以32sinA-12cosA-32sinA+12cosA=-14,即32sinAcosA-34sin2A-14cos
所以34sin2A-38(1-cos2A)-18(1+cos2A)=-14,整理得34sin2A+
所以sin2
因为A∈(0,π),所以2A+π6
所以2A+π6=5
(2)由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC,又a=1,A=π3
所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233sinB+sin2π3-
因为△ABC为锐角三角形,
所以0Bπ
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