福建省福州第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷【含答案】.docx

福州二中2023—2024学年第四学段测试

高一年级数学必修二试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则下列正确的是（????）

A． B．

C．为纯虚数 D．的实部为1

2．已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（????）

??

A．12 B．4 C．6 D．3

3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（????）

A． B． C． D．

4．在中，角的对边分别为，若，，，则的值为（????）

A． B． C． D．

5．图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（????）

A．这10年粮食年产量的极差为16

B．这10年粮食年产量的第70百分位数为35

C．这10年粮食年产量的平均数为33.7

D．前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差

6．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（????）

A．

B．在上单调递增

C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数

D．在上的零点有4个

7．如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（????）

A．在方向上的投影向量为 B．

C． D．

8．如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（????）

A．2 B． C． D．1

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（????）

A．已知复数满足，则

B．复数的共轭复数的虚部为2

C．若是关于的方程的一个根，则

D．若复数满足，则的最大值为2

10．在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（????）

??

A．当时，一定为直角三角形

B．当时，一定为直角三角形

C．当平面时，一定为直角三角形

D．当平面时，一定为直角三角形

11．在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，则下列说法正确的是（????）

A．与所成角为

B．点到平面的距离为

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．二面角平面角的正切值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知，则．

13．已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为．

14．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．

四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．

??

(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数：

(2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？

(3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．

16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.

(1)设平面与直线相交于点，求证：；

(2)若，，，求直线与平面所成角的大小.

17．平面凸四边形中，．

(1)若，求；

(2)若，求

18．如图，已知平面平面，是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，且分别为的中点，

(1)求证：平面；

(2)点在上移动，求证：；

(3)求三棱锥的体积．

19．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）.

(1)设，写出函数的相伴向量；

(2)已知锐角的内角的对边分别为记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围.

1．C

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求得结果.

【详解】因为,

所以，，的实部为，即A、B、D错误，C正确.

故选：C

2．C

【分析】选择适当的向量作为平面向量基底，用基底来表示向量，即可解.

【详解】以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量为基底,如图.

则,

所以，则.

??

故选：C

3．C

【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解.

【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，

则，解得，所以该圆锥的表面积为