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第
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第03讲概率的综合运用
【题型归纳目录】
题型一:古典概型
题型二:概率的基本性质
题型三:事件的独立性
题型四:随机模拟
题型五:概率的综合运用
【知识点梳理】
知识点1、古典概型
(1)古典概型
考察这些试验的共同特征,就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.可以发现,它们具有如下共同特征:
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability),简称古典概型.
(2)概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
P(A)=eq\f(k,n)=eq\f(n?A?,n?Ω?).
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
知识点2、概率的基本性质
一般地,概率有如下性质:
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(?)=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么
P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:如果A?B,那么P(A)≤P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
知识点3、事件A与B相互独立
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(1)事件A与B是相互独立的,那么A与B,A与B,A与B也是否相互独立.
(2)相互独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B).
【典例例题】
题型一:古典概型
例1.某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为SKIPIF10,停车费多于14元的概率为SKIPIF10,求甲的停车费为6元的概率;
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
【解析】(1)记“甲一次停车不超过1小时”为事件A,“甲一次停车1到2小时”为事件B,“甲一次停车2到3小时”为事件C,“甲一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得SKIPIF10,SKIPIF10.
又事件A,B,C,D互斥,SKIPIF10,
甲的停车费为6元即甲一次停车不超过1小时,所以SKIPIF10,
所以甲的停车费为6元的概率为SKIPIF10.
(2)易知甲、乙停车时长的样本点有SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,共16个,
停车1小时的费用为6元,停车2小时的费用为14元,停车3小时的费用为22元,停车4小时的费用为30元.
这16种情况发生的可能性是相等的,而“停车费之和为28元”的样本点有SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,共3个.
所以所求概率为SKIPIF10.
例2.清明期间,某校为缅怀革命先烈,要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动,学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为SKIPIF10,为了解
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