1.2 空间向量基本定理（四种常考题型）（解析版）.docxVIP

1.2空间向量基本定理（四种常考题型）

知识点1空间向量基本定理

如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底,都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式.

知识点2空间向量的正交分解

1.单位正交基底

空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示．

2.正交分解

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.

像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解．

题型一 基底的判断

1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（????）

A． B．，，

C．，， D．

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：，因此向量，，共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；

对于选项D：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

2．已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用基底的性质进行求解.

【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；

因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；

因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；

因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.

故选：B.

3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】采用假设向量共面，则根据共面向量定理可列出方程组，根据该方程组解的情况，判断选项,根据，判断C.

【详解】对于A，假设，，共面，

则存在实数使得，则，

此方程组无解，假设不成立，，，不共面；

对于B,假设，，共面，

则存在实数使得，则，

此方程组无解，假设不成立，，，不共面；

对于C,因为，

故，，共面．

对于D,假设，，共面，

则存在实数使得，则，

此方程组无解，假设不成立，，，不共面；

故选：C

4．（多选）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.

【详解】因为，

，

，

所以向量，，均与向量，共面．

故选：C

5．是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（????）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据空间向量基本定理判断即可.

【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；

因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，

若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；

故选：ACD

6．（多选）下列说法正确的是（????）

A．空间向量与的长度相等

B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量

C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

【答案】AB

【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.

【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确；

对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；

对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；

对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.

故选：AB.

7．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（????）

A．若，，则

B．，，一定能构成空间的一个基底

C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使

D．存在有序实数对，使得

【答案】BC

【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

【详解】对于，，，不能得出，也可能是、相交不一定垂直，选项错误；

对于，假设向量，，共面，则，、，

化简得，所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项正确；

对于，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组,,，使，选项正确；

对于，因为是空间一个基底，所以与、不共面，选项错误．

故选：．

8．（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.

【详解】如图所示，令，则，又，

由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，

同理和也不共面.

故选：BCD

9．（多选）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（????）

A．若构成空间的一个基