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状态空间法分析及应用的特点

摘要

基于为寻求便于分析系统的性能的相应状态变量以及探究状态空间变量线

性变换对系统性能的影响，来阐述状态空间分析法的特点。通过应用状态空间法

到绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构进行数值模拟分析中来进一步阐述其特点，

将结构控制理论中的结构状态空间法应用到该复合支座隔震结构的数值模拟分

析中。建立了普通框架、安装叠层橡胶支座和安装绞线一叠层橡胶复合支座框架

的结构状态方程，应用MATLAB/SIMULINK工具箱建立结构仿真模型，得不同条

件下框架结构的时程反应曲线。通过对比分析可以看绞线一叠层橡胶复合支座

能很好地改变结构的隔震效果，应用状态空间法进行绞线一叠层橡胶复合支座隔

震结构的数值模拟分析简单准确。

关键词：系统、传递函数、线性变换、状态空间变量

一、引言

状态空间分析从实质上说并不是什么新颖的东西，关键思想起源予19世

纪到拉格朗日、哈密顿等人在研究经典力学时提出的广义坐标与变分法。当然，

由高斯等人奠定的古典概率、估计理论以及线性代数等也具有同样的重要性。上

世纪40年代以来，布利斯、庞德里亚金和别尔曼关于极大值原理，卡尔曼、布

西与巴丁等人提的卡尔曼滤波理论，以及许许多多的学者完成的并不具有里

程碑意义的研究成果，积累起来却对算法及分析结果产生了决定性意义的贡献。

这些便是状态空间方法发展的历史概况。状态空间分析是对线性代数、微分方程、

数值方法、变分法、随机过程以及控制理论等应用数学各学科的综台。对动态系

统的性能分析，特别是对扰动的响应、稳定性的特性、估计与误差分析以及对控

制律的设计及性能评估，这些便构成状态空间分析的内容。这主要表现在利用

向量、矩阵等一整套数学符合，把大量资料加以整理与综合，形成了观念上统

一的体系——60年代中期之后出现了现代控制理论。

状态空间分析随着动力学与控制问题维数的增加(中包括坐标、敏感器、

执行机构以及它装置的数量)而越发显得重要。另一方面亦由于计算机软件的

不断完善，特别在可靠性及用户接口方面的改善与进展，使得计算工作比以前

任何时候都易于进行，使状态空间分析越发显得有生命力。它具有的特性使得在

设计控制系统时，不在只局限于输入量、输量和误差量，为提高系统性能提供

了有力的工具，加之可以利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于

非线性系统、时变系统、多输入—多输系统以及随机过程等。

二、状态空间分析法

状态空间模型

描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。每一变量都表示系统运动状态

的一种特征，这单个变量也称为状态变量。系统运动状态是由一组独立（或数目

最少）状态变量确定的。这一组独立状态变量的个数就表示系统的维数。一个由

n阶微分方程描述的系统，就有n个独立的状态变量。或者说这n个状态变量是

完全能描述系统运动状态必需的。若变量数目多于n，则必有变量不独立；若变

量少于n，则不能完全描述系统的运动状态。状态变量的选取对一个系统来说不

是唯一的，一般选取易于测量的变量。由这些变量组成描述系统的式子为状态变

量表达式，由以下组成：

1）状态方程

状态方程式是描述状态量与输入量之间的关系的一阶微分方程组（连续的时

间系统）或一阶差分方程（离散时间系统）。系统的状态方程表征了系统有输入

引起的内部状态变化的规律。连续系统的状态方程的一般形式表示为：

•

xtfxtutt

()[(),(),]=AX+BU;

x(t)—连续时间系统的n维状态变量；

u(t)—连续时间系统的r为输入矢量；

A—系统内部状态的联系即系统矩阵；

B—系统的输入矩阵；

2）输出方程

输方程描述系统输变量与系统状态

变量和输入变量之间的关系的代数方程，其一般表达方式如下：

xtutt

y(t)=g[(),(),]=CX+DU;

C—系统的输矩阵；

D—系统的直接传输矩阵；

2.1建立状态空间的表达式

对于实际的工况可以建立