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数学
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题,共58分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数,则在复平面内对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知,则在上的投影向量为(????)
A. B. C. D.
3.已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.点满足向量,则点与的位置关系是(????)
A.点为线段的中点 B.点在线段延长线上
C.点在线段的延长线上 D.点不在直线上
5.要得到函数的图象,只需将函数的图象(????)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.柳编技艺在我国已有上千年的历史,如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录.如图,若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2,下底面圆半径为1,体积为的圆台,则该圆台的侧面积为(????)
A. B. C. D.
7.已知,则(????)
A. B.0 C. D.1
8.中,,点为平面内一点,且分别为的外心和内心,当的值最大时,的长度为(????)
A. B. C. D.1
二、多项选择题:本题共3小题.每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在中,的对边分别是,,,若有两个解,则的值可以为(????)
A.2 B.3 C.4 D.
10.已知是复数,则下列说法正确的是(????)
A.若,则或
B.若,则
C.若,则
D.若,则的最大值为
11.如图,正方体的棱长为1,下列说法正确的是(????)
A.直线与平面所成角的正切值为
B.若点在正方体表面上运动且满足,则点的轨迹的长度为
C.四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
D.设直线与平面交于点,则三棱锥外接球的表面积为
第Ⅱ卷(非选择题,共92分)
三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡上.4
12.按斜二测画法得到,如图所示,其中,那么的面积为.
13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上;行驶后到达处,测得此山底在西偏北的方向上,山顶的仰角为,则此山的高度.
14.若存在实数,使得对于任意的,不等式恒成立,则的最大值为.
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
16.如图,在三棱锥中,.
(1)求证:平面平面;
(2)当时,求二面角的正弦值.
17.在中,角的对边分别是,且.
(1)求角的大小;
(2)若的周长为8,外接圆的面积为,求的面积.
18.如图,在锐角中,,;
(1)用表示;
(2)若,求的长度;
(3)当取最小值时,求.
19.在三角函数领域,为了三角计算的简便并且追求计算的精确性,曾经出现过以下两种少见的三角函数:定义为角的正矢(或),记作;定义为角的余矢(Coversed或coversedsine),记作.
(1)设函数,求函数的单调递减区间;
(2)当时,设函数,若关于的方程的有三个实根,则:
①求实数的取值范围;
②求的取值范围.
1.D
【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式,然后可得在复平面对应的点的位置.
【详解】由题意得,所以,
所以复数对应的点的坐标为,位于第四象限.
故选:D.
2.C
【分析】根据投影向量的定义即可求解
【详解】因为,所以,,
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
故选:C
3.A
【详解】,,所以当时,成立,即充分性成立;当时,不一定成立,可能是异面直线,故必要性不成立;所以是的充分不必要条件,
故选:A
4.C
【分析】分析可得,进而可得结果.
【详解】因为,即,可得,
所以点在线段的延长线上.
故选:C.
5.D
【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简,再结合三角函数的平移规则判断即可.
【
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