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第八章平面解析几何
8.1直线的倾斜角、斜率与方程
课程标准有的放矢
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°
(3)范围:直线倾斜角的取值范围是[0°,
2.直线的斜率
(1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα
(2)过两点直线的斜率公式:过两点P1x1,y1,
(3)直线的方向向量坐标:若P1x1,y1,P2x2,y2,则直线P1P2的方向向量P1P2的坐标为x2
3.直线方程的五种形式
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y-
x0,y
不垂直于x轴(k存在)
斜截式
y=
k为斜率,b是直线的纵截距,是点斜式的特例
不垂直于x轴(k存在)
两点式
y-
x1,y
不垂直于x轴和y轴x1
截距式
xa
a为横截距,b为纵截距,是两点式的特例
不垂直于x轴和y轴,且不过原点ab
一般式
Ax+
A2
A,B,C为系数
任何位置的直线
常用结论
1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α=
0°
α=
90°
斜率(范围)
k=
k
不存在
k
2.过点P1x1,y
(1)若x1=x2,且y1
(2)若x1≠x2,且y1
(3)若x1=x2=0,且
(4)若x1≠x2,且y1
自主评价牛刀小试
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)倾斜角越小,斜率越小. (×)
(2)不是所有的直线都有斜率. (√)
(3)过点Px0,y0的直线都可用方程y-y0
(4)能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示. (√)
(5)直线2kx+y+1-2k=0恒过定点
2.直线3x+y-1
A.30° B.60° C.120
解:由题意,得k=tanθ=-3,θ∈[0°
3.倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是(D
A.x-y+1=0
解:直线的斜率为k=tan135°=-1,所以直线方程为y=-x
4.(教材题改编)如果AC0,且BC0,那么直线Ax+
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:由已知,得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-CA0,在y轴上的截距-CB
核心考点精准突破
考点一直线的倾斜角和斜率
例1
(1)【多选题】如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α
A.k1k3k
解:由题图,知k2k30,k10,则k1k3k2
(2)直线l过点P1,0,且与以A2,1,B0,3
解:
如图,因为kAP
kBP
直线l与线段AB有交点,所以k∈
故填-∞,-3
【点拨】①任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在,直线倾斜角的范围是[0,π),斜率的取值范围是R,同时要知道正切函数在[0,π)上不单调.②求直线的倾斜角主要根据定义来求,求直线的斜率常用的有三种方法:定义法k
变式1
(1)(教材题改编)若过点M-2,m,Nm,4的直线的斜率等于1
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
解:由题意,得m-4-2-m=1
(2)已知直线l的一个方向向量为p=(sinπ3,cosπ3),则直线
A.π6 B.π3 C.2
解:由题意,可得直线l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tan
(3)点Px,y在以点A2,1,点B(0,
解:yx+1表示过点Q-1,
如图,因为kAQ=1-02--1=13,kBQ=
考点二求直线方程
例2
(1)求适合下列条件的直线方程.
①过点P4,-2
解:因为倾斜角α=150°,所以斜率k=tan150
②过两点A1,3
[答案]因为斜率k=5-32
③在x轴、y轴上的截距分别为-3,-
[答案]由题意,得直线的截距式方程为x-3+
④直线l经过点P0,1,
[答案]由题意,得直线l的斜率为12,所以直线l的方程为y-1
(2)设直线l的方程为m2-2m-3x-2m2+
解:由题意,知m2-2m-3≠0
令y=0,则
所以2m-6m2-2m-3=-3
所以m=-53.
【点拨】①选用直线方程时,注意其适用条件.②注意截距相等包含截距为0的
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