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2024年上海市高考数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、填空题〔共14小题,每题4分,总分值56分〕
1.〔4分〕〔2024?上海〕函数的反函数为f﹣1〔x〕=,〔x≠0〕.
【考点】反函数.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】直接利用函数的表达式,解出用y表示x的式子,即可得到答案.
【解答】解:设,可得xy﹣2y=1,
∴xy=1+2y,可得,将x、y互换得.
∵原函数的值域为y∈{y|y≠0},
∴,〔x≠0〕
故答案为:,〔x≠0〕
【点评】此题考查了求函数的反函数的一般步骤,属于简单题.
2.〔4分〕〔2024?上海〕假设全集U=R,集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0},那么?UA=〔0,1〕.
【考点】补集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】由条件我们易求出集合A,再根据补集的定义,易求出CUA.
【解答】解:∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1,或x≤0}
∴CUA={x|0<x<1}=〔0,1〕
故答案为:〔0,1〕
【点评】此题考查的知识点是补集及其运算,其中求出满足条件的集合A是解答的关键.
3.〔4分〕〔2024?上海〕设m是常数,假设点F〔0,5〕是双曲线的一个焦点,那么m=16.
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决此题的关键,利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系,列出关于m的方程,通过解方程求出m的值.
【解答】解:由于点F〔0,5〕是双曲线的一个焦点,
故该双曲线的焦点在y轴上,从而m>0.
从而得出m+9=25,解得m=16.
故答案为:16.
【点评】此题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识,考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a,b,c关系式的理解和掌握程度,考查学生的方程思想和运算能力,属于基此题型.
4.〔4分〕〔2024?上海〕不等式的解为.
【考点】其他不等式的解法.
【专题】计算题.
【分析】通过移项通分,利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0,注意分母不为0;再解二次不等式即可.
【解答】解:原不等式同解于
同解于
同解于
即
解得
故答案为:
【点评】此题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意:分母不为0;考查二次不等式的解法.
5.〔4分〕〔2024?上海〕在极坐标系中,直线ρ〔2cosθ+sinθ〕=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan.〔结果用反三角函数值表示〕
【考点】简单曲线的极坐标方程;两直线的夹角与到角问题.
【专题】计算题.
【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系,再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可.
【解答】解:∵ρ〔2cosθ+sinθ〕=2,ρcosθ=1
∴2x+y﹣2=0与x=1
∴2x+y﹣2=0与x=1夹角的正切值为
直线ρ〔2cosθ+sinθ〕=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan
故答案为:arctan
【点评】此题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能进行极坐标和直角坐标的互,属于根底题.
6.〔4分〕〔2024?上海〕在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,假设∠CAB=75°,∠CBA=60°,那么A、C两点之间的距离为千米.
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】解三角形.
【分析】先由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=x,利用三角形内角和求得∠ACB,进而表示出AD,进而在Rt△ABD中,表示出AB和AD的关系求得x.
【解答】解:由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=x,
∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°
∴AD=x
∴在Rt△ABD中,AB?sin60°=x
x=〔千米〕
答:A、C两点之间的距离为千米.
故答案为:
下由正弦定理求解:
∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°
又相距2千米的A、B两点
∴,解得AC=
答:A、C两点之间的距离为千米.
故答案为:
【点评】此题主要考查了解三角形的实际应用.主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角,建立方程求得AC.
7.〔4分〕〔2024?上海〕假设圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,那么该圆锥的体积为.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题.
【分析】求出圆锥的底面周长,然后利用侧面积求出圆锥的母线,求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积.
【解答】解:根据题意,圆锥的底面面积为π,那么其底面半径是1,底面周长为2π,
又,
∴
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