浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题卷【含答案】.docx

镇海中学2023学年第二学期期末考试

高一数学试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（????）

A．2 B． C． D．4

2．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（????）

A． B． C． D．

3．l为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是（????）

A．l平行平面内的无数条直线 B．l平行于平面的法向量

C．l垂直于平面的法向量 D．l与平面没有公共点

4．己知，则在上的投影向量的坐标为（????）

A． B． C． D．

5．点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（????）

A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定

6．如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

7．实数满足，则的最小值为（????）

A．3 B．7 C． D．

8．在棱长为2的正四面体中，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角为和，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．

9．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（????）

A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3

C．不可能是直角 D．当时，的面积为

10．已知圆，圆．则下列选项正确的是（????）

A．直线恒过定点

B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则

C．若圆和圆共有2条公切线，则

D．当时，圆与圆相交弦的弦长为

11．埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，分别为埃舍尔多面体的顶点，分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥与分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体的中心O，以O为原点，轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕轴旋转，将旋转后的三个正方体（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（????）

A．在图5中，

B．在图5中，直线与平面所成角的正弦值为

C．在图10中，设点的坐标为，则

D．在图10中，若E为线段上的动点（包含端点），则异面直线与所成角余弦值的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是．

13．已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是．

14．已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为，的内切圆半径长为．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．

15．已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1．

(1)求直线l的方程；

(2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．

16．如图，正三棱柱所有的棱长均为2，点在棱上，且满足，点是棱的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

17．已知圆的圆心在轴上，且过．

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，三棱柱中，为等边三角形，，平面平面．

(1)求证：；

(2)若，点E是线段的中点，

（i）求平面与平面夹角的余弦值；

（ii）在平面中是否存在点P，使得且．若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

19．在空间直角坐标系中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．

(1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；

(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的