高二数学直线与平面平面与平面的位置关系.docx

第2讲：直线与平面，平面与平面的位置关系

【知识整合】

一、直线与平面的位置关系：

直线与平面平行：

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（即线线平行，则线面平行）

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（即线面平行，则线线平行）

直线与平面垂直：

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（即线线垂直，则线面垂直）

直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线平行；②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线（即线面垂直，则线线垂直）

平面的斜线及直线与平面所成的角：

过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，范围是[0?,90?]。

三垂线定理：如果平面内的一条直线和一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。

二、平面与平面的位置关系：

两平面平行：

两平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（即线面平行，则面面平行）

两平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面（即面面平行，则线面平行）；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。（即面面平行，则线线平行）

二面角的大小：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是[0?,180?]。

两平面垂直：

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（即线面垂直，则面面垂直）

两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（即面面垂直，则线面垂直）

【典例精析】

空间四边形 ABCD中，若AB?AD? AC? CB? CD? BD，则AC 与BD所成角为 。

D1 C

D

1

1A如图长方体中，AB=AD=2 3，CC= 2，则二面角

1

A

1 B

1

C—BD—C的大小为（ ）

1 D

C

A B

已知空间四边形ABCD，P，Q分别是?ABC和?BCD的重心，求证PQ//平面ACD

E

正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE， F

BD上各取一点P，Q，且AP?DQ，求证PQ//平面BCE。

B

P C

Q

A D

如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，

PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。证明

PA⊥BF

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//DC,

AC?BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO?2,PO? 2,PB?PD.

（１）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；

（２）设点M在棱PC上，且PM??,问?为何值时，

MC

PC?平面BMD。

在正方体ABCD?ABCD

中，Ｍ，Ｎ，Ｐ分别是

1 1 1 1

CC,BC,CD

1 1 1 1 1

的中点，求证：

（１）AP?MN

（２）平面MNP//平面ABD

1

在三棱锥S?ABC中，?ABC是等腰三角形，

AB?BC?2a,?ABC?120 ， 且

SA?平面ABC,SA?3a，求点A到平面SBC的距离。

如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形，PA?底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB。

求证平面PCE?平面PCD

求点D到平面PCE的距离。

如图，在正三棱柱ABC?ABC

中，AB? 2AA，

1 1 1 1

点D是AB的中点，点E在AC

上，且DE?AE。

1 1 1 1

求证，平面ADE?平面ACCA

1 1

求直线AD和平面ABC

1

所成角的正弦值。

【重点题型强化】

如图，三棱柱ABC?ABC中D是BC的中点，求证：AB//平面ACD

1 1 1 1 1

如图，在?ABC中，?ACB?90，D，E分别为AC，AB的