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浙教版九年级全第1招二次函数中的最值问题
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线对应的函数表达式;类型1运用二次函数区间最值求参数
(2)P是直线AB上方的抛物线上的动点,连结PA,PB,当点P到直线AB的距离最大时,求点P的坐标;
(3)当t≤x≤2+t时,若二次函数y=-x2+bx+c的最大值与最小值之差等于8,直接写出t的值.解:t的值为-2或2.
【点拨】∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标为(1,4),对称轴是直线x=1,且抛物线开口向下.①当2+t≤1,即t≤-1时,y=-x2+2x+3在x=2+t时取得最大值,在x=t时取得最小值,∴-(2+t)2+2(2+t)+3-(-t2+2t+3)=8,解得t=-2.
④当t>1时,y=-x2+2x+3在x=t时取得最大值,在x=2+t时取得最小值,∴-t2+2t+3-[-(2+t)2+2(2+t)+3]=8,解得t=2.综上所述,t的值是-2或2.
2.类型2与线段有关的最值问题
(2)点C是抛物线y1上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线交抛物线y2于点D,当线段CD取得最大值时,求S△BCD.
3.类型3与周长有关的最值问题
(1)抛物线的表达式为________________;(2)当点P落在抛物线的对称轴上时,则△PBC的面积为________;【点拨】
(3)①若点N为y轴上一动点,当四边形BENF为矩形时,求点N的坐标;解:过点N作NG⊥EF于点G,设PF交x轴于点H,如图.∵y=2x+m过点B(4,0),∴0=2×4+m,∴m=-8.∴直线BM的表达式为y=2x-8.∴M(0,-8).
②在①的条件下,第四象限内有一点Q,满足QN=QM,当△QNB的周长最小时,求点Q的坐标.解:∵QN=QM,∴点Q在MN的垂直平分线上.又∵B(4,0),N(0,-3),易得BN=5.∴C△QNB=BQ+NQ+5=BQ+MQ+5.∴当点B,Q,M共线时,△QNB的周长最小,
4.已知二次函数y=x2+(m-2)x+m-4,其中m2.(1)当该函数的图象经过原点O(0,0)时,求此时函数图象的顶点A的坐标;类型4与面积有关的最值问题
解:将O(0,0)的坐标代入y=x2+(m-2)x+m-4,得0=m-4,解得m=4.∴y=x2+2x=(x+1)2-1,∴A(-1,-1).
(2)求证:二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限;
(3)如图,在(1)的条件下,若平移该二次函数的图象,使其顶点在直线y=-x-2上运动,平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求△AOB面积的最大值.
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