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1.1.2空间向量数量积运算(四种常考题型)
知识点1空间向量的夹角
如图,已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量的夹角,记作,
夹角的范围:,特别地,如果,那么向量互相垂直,记作
知识点2空间向量的数量积运算
1.空间向量的数量积
已知两个非零向量,则叫做的数量积,记作,即.
零向量与任意向量的数量积为0,即.
2.数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
3.投影向量
在空间,向量向向量投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的投影向量.
4.数量积的性质
若,为非零向量,
则(1);(2);(3),;
(4);(5)
题型一 空间向量数量积的运算
1.如图,各棱长都为的四面体中,,则向量(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由向量的运算可得,,由向量数量积的定义即可得到答案.
【详解】由题得夹角,夹角,夹角均为,
,
,
,
故选:A.
2.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵中,分别是的中点,是的中点,,则(????)
??
A.4 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【分析】连接,将待求表达式转化进行运算简化.
【详解】
连接,由棱柱性质,侧棱平面,平面,则,
故,又,
.
故选:C
3.已知,,均为空间单位向量,它们之间的夹角均为,那么(????)
A.2 B.
C. D.6
【答案】C
【分析】根据给定条件,利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.
【详解】因为,,均为空间单位向量,它们之间的夹角均为,,
所以
.
故选:C
4.定义两个向量与的向量积是一个向量,它的模,它的方向与和同时垂直,且以的顺序符合右手法则(如图),在棱长为2的正四面体中,则(????)
??
A. B.4 C. D.
【答案】A
【分析】根据题中条件确定,设底面△ABD的中心为O,则CO⊥平面ABD,可求得,又的方向与相同,代入计算可得答案.
【详解】,
,
设底面△ABD的中心为O,连接CO,AO,则OC⊥平面ABD,
又AO,AB,AD?平面ABD,故OC⊥AO,OC⊥AB,OC⊥AD,
,,
在中,,
则,又的方向与相同,
所以.
故选:A.
5.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是、的中点,则的值为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得,在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意,和之间夹角均为,结合平面向量线性运算有
???
故选:C
6.在空间四边形中,等于(???)
A. B.0 C.1 D.不确定
【答案】B
【分析】令,利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令,
则,
,
.
故选:B
7.如图,在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中,底面ABCD,,G为棱BE的中点.
(1)证明:平面BCE.
(2)若,,,求.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)根据已知,利用线面垂直的判定定理可得平面ABE,从而得到,利用等腰三角形的中线性质得到,然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE;
(2)以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.求出的坐标,利用空间向量数量积的坐标表示即得解.
【详解】(1)证明:因为底面ABCD,所以,
又,,平面ABE,所以平面ABE,
则.
因为G为棱BE的中点,,所以,
又,平面BCE.
所以平面BCE.
(2)以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意可得,,,.
因为,,
所以.
8.如图所示,已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】(1)正四面体的每个面均为等边三角形,夹角为,再结合空间向量数量积的运算法则,得解;
(2)由,代入运算,即可得解;
(3)取的中点,连接,,可推出,再在中,利用余弦定理求出的值,从而得解.
【详解】(1)
(2);
(3)取的中点,连接,,则,,
在中,,,
由余弦定理知,,
所以.
9.(多选)已知四面体中,,,两两垂直,则以下结论中一定成立的是(????)
A.; B.
C.; D.
【答案】ACD
【分析】利用,,两两垂直,可得,对于A选项,两边平方化简后相等可判断A选项;对于B选项,将,代入化简得到不一定为0,可判断B选项;对于C选项,左边直接平方利用向量垂直数量积为0化简,可判断C选项;对于D选项,将,同理,可判断D选项.
【详解】由题意可
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