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第三章一元函数的导数及其应用
3.1导数的概念、意义及运算
课程标准有的放矢
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
2.体会极限思想.
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如fax
6.会使用导数公式表.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.导数的概念及其意义
(1)函数的平均变化率:对于函数y=fx,设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从fx0变化到fx0+Δx.这时,x的变化量为Δx,y
(2)导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=fx在x=x0处
(3)导数的几何意义:函数y=fx在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=fx在点Px0,fx0
(4)导函数的概念:当x=x0时,fx0是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=fx就是x的函数,我们称它为y=
2.导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式.
原函数
导函数
fx=c
fx
fx=
fx=
fx
fx=
fx
fx=
fx=
fx=
fx
fx=
fx=
fx=
fx
fx=
(2)导数的四则运算法则.
名称
法则
和差
[fx±
积
[fxgx
特别地,[cf
商
[fxgx]=
(3)简单复合函数的导数.
一般地,对于两个函数y=fu和u=gx,如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=fu和u=gx的复合函数,记作y=fgx.它的导数与函数y=f
常用结论
1.导数的两条性质
(1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.
(2)可导函数y=fx的导数为fx,若fx
2.几类重要的切线方程
(1)y=x?1是曲线y=lnx的切线,y=x
图1
(2)y=x+1与
图2
(3)y=x是曲线y=sin
图3
自主评价牛刀小试
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)fx0与[fx
(2)函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0
(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点. (×)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (×)
(5)函数fx=sin?x的导数是f
2.(教材题改编)函数fx的图象如图所示,则0,f1,f2
A.0 B.f1 C.f
解:f3f
3.已知函数fx=xx+1+
A.83 B.2 C.53
解:fx=1x+12+a,故f
故选A.
4.曲线fx=ln(2x?1
A.y=x?1 B.y=2x
解:因为fx=ln2x?1,所以fx=22x?
故选C.
核心考点精准突破
考点一求导运算
例1求下列函数的导数:
(1)y=
解:y=
=3
=3
=ln
(2)y=
[答案]y=
(3)y=sin
[答案]
y=cos
=2
(4)y=
[答案]
y=
=1
(5)y=
[答案]y=tan
【点拨】一般对函数式先化简再求导,常用求导技巧有以下几种.①连乘积形式,先展开化为多项式的形式,再求导.②分式形式,观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.③对数形式,先化为和、差的形式,再求导.④根式形式,先化为分数指数幂的形式,再求导.⑤三角形式,先利用公式化简函数,再求导.⑥复合函数,确定复合关系,由外向内,层层求导.
变式1
(1)若函数fx=12x2
解:fx=x?2f0sinx+1.令x=
(2)设函数fx=xx+kx
A.0 B.?1 C.3 D.
解:因为fx
所以fx=x+kx+2kx?
(3)设函数fx在0,+∞内可导,且fex
解:(方法一)令t=ex,则x=lnt,所以ft=lnt
(方法二)等式两边同时求导,得exfex=1
故填2.
考点二导数的几何意义
命题角度1求切线方程
例2
(1)[2023年全国甲卷]曲线y=exx+1在点
A.y=e4x B.y=e
解:因为y=exx+1,所以y=exx+1?e
(2)已知函数fx=xlnx,若直线l过点0,?1
解:易知点0,?1不在曲线y=
设切点为x0
因为f
所以直线l的方程为y+
所以由y0=x0
所以直线l的方程为y=x?1
故填x?
【点拨】①以曲线上的点x0,fx0为切点的切线方程的求解步骤:先求出函数fx的导数fx,再求切线的斜率fx0,最后写出切线方程y
变式2
(1)曲线y=2sinx
A.x
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