2025版高考数学总复习核按钮-第五章 平面向量与复数.docx

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第五章平面向量与复数

5.1平面向量的概念及线性运算

课程标准有的放矢

1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.

2.理解平面向量的几何表示和基本要素.

3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.

4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.

5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.向量的有关概念

名称

定义

说明

向量

既有大小又有方向的量叫做向量

平面向量是自由向量

有向线段

具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a,b,c，?表示

有向线段包含三个要素：起点、方向、长度

向量的模

向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作AB

向量的模是数量

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0

—

单位向量

长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量

a是非零向量，则±a

平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量

规定：零向量与任意向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量

两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小

相反向量

与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-

0的相反向量仍是0

2.向量的线性运算

运算

定义

法则（或几何意义）

运算律（性质）

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

交换律：a+b=b+a.并规定：a+0=0+a=

减法

求两个向量差的运算

a-

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

λa是一个向量，其长度：λa

其方向：当λ0时，与a的方向相同；当λ0时，与a的方向相反

设λ，μ∈

λμa=

λ+μa=

λa+b

3.向量共线定理

向量aa≠0与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b

常用结论

1.加法运算的推广

（1）加法运算的推广：A1

（2）向量三角不等式：a-b≤a±b

2.线性运算重要结论

（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=

（2）若G为△ABC的重心,则GA

（3）若OA=λOB+μOC（λ，μ为实数），则点A，

（4）如图,△ABC中,BD=m,CD=n,则AD=nm+nAB

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.

（1）相等向量的起点和终点分别相同. （×）

（2）a与b是否相等与a，b的方向无关. （√）

（3）零向量与任一向量平行. （√）

（4）若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线. （×）

（5）当两个向量a，b共线时，一定有b=λaλ∈R，反之亦成立.

2.（教材题改编）下列说法正确的是（D）

A.单位向量都相等 B.若a//b

C.若a=b，则a=b D.

解：对于A，单位向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误.

对于B，当a//b时，a与b不一定相等

对于C，当a=b时，不一定有a=b，因为a=b需a=b且a

对于D，a=λbb≠0，则a//

3.【多选题】（教材题改编）下列选项中，向量a,b一定共线的有（ABC）

A.a=2e,b=-

C.a=4e1-2

解：对于A，a=-

对于B，a=-

对于C，a=4b.故A，B，

对于D，若a=λb，e1,e2不共线，则1

故选ABC.

4.如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=

A.0 B.BE C.AD D.CF

解：将CD平移到AF，EF平移到CB，故BA+CD+EF

核心考点精准突破

考点一平面向量的基本概念

例1【多选题】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是（ABC）

A.AB=OC B.AB//DE

解：由正六边形的结构特征，知AB与OC方向相同，长度相等，所以AB=OC，故A

AB与DE方向相反，所以AB//DE，故B

由正六边形的性质，知AD=BE，故C

AD与FC不共线，所以不相等，故D错误.

故选ABC.

【点拨】准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:①a//b，有a与b方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同，如a=b?a=±b.③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量a，aa是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法.

变式1

（1）下列命题正确的是（B）

A.任一向量与它的相反向量都不相等

B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量

C.平行且模相等的两个向量是相等向量

D.若a≠b