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五年高考真题2020-2024
专题04导数及应用(解答题)
五年命题知识点分布
考点
五年考情(2020-2024)
命题趋势
考点1利用导数求函数单调性,求参数
2024全国甲卷Ⅰ卷
2023Ⅱ卷乙甲
2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷
2021甲卷Ⅰ卷
2020Ⅰ卷Ⅲ卷
含参的函数利用导数求参数问题是高考中的一个高频考点,也是必考点,通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其他问题,可直接求导或者是利用分离参数去转化。
考点2恒成立问题
2023甲卷
2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷
2021乙卷Ⅱ卷
2020ⅠⅡⅢ卷
考点3与三角函数相关导数问题
2023Ⅱ卷甲卷
2022天津卷
2021Ⅰ卷
2020Ⅱ卷甲卷
与三角函数相关问题随着新高考新结构的出现,这类题目一压轴题出现的频率会变大。
考点04导数综合类问题
2024北京天津
2023乙卷北京Ⅰ卷天津
2022甲卷ⅠⅡ卷
2021乙卷Ⅰ卷
2020ⅡⅢ卷
导数综合类问题一直是高考数学的压轴题一般牵扯到不等式的证明问题,极值点偏移问题,拐点偏移问题,隐零点问题,函数放缩问题。未来也是高考重难点
考点05新定义问题
2024上海卷
随着高考数学新结构的形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
分考点精准练
考点01利用导数求函数单调性,求参数
解答题
1.(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知函数
(1)若,且,求的最小值;
(2)证明:曲线是中心对称图形;
(3)若当且仅当,求的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【详解】(1)时,,其中,
则,
因为,当且仅当时等号成立,
故,而成立,故即,
所以的最小值为.,
(2)的定义域为,
设为图象上任意一点,
关于的对称点为,
因为在图象上,故,
而,
,
所以也在图象上,
由的任意性可得图象为中心对称图形,且对称中心为.
(3)因为当且仅当,故为的一个解,
所以即,
先考虑时,恒成立.
此时即为在上恒成立,
设,则在上恒成立,
设,
则,
当,,
故恒成立,故在上为增函数,
故即在上恒成立.
当时,,
故恒成立,故在上为增函数,
故即在上恒成立.
当,则当时,
故在上为减函数,故,不合题意,舍;
综上,在上恒成立时.
而当时,
而时,由上述过程可得在递增,故的解为,
即的解为.
综上,.
2.(2024·全国·高考Ⅱ卷)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】(1)当时,则,,
可得,,
即切点坐标为,切线斜率,
所以切线方程为,即.
(2)解法一:因为的定义域为,且,
若,则对任意恒成立,
可知在上单调递增,无极值,不合题意;
若,令,解得;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增,
则有极小值,无极大值,
由题意可得:,即,
构建,则,
可知在内单调递增,且,
不等式等价于,解得,
所以a的取值范围为;
解法二:因为的定义域为,且,
若有极小值,则有零点,
令,可得,
可知与有交点,则,
若,令,解得;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增,
则有极小值,无极大值,符合题意,
由题意可得:,即,
构建,
因为则在内单调递增,
可知在内单调递增,且,
不等式等价于,解得,所以a的取值范围为.
3.(2024·全国·高考甲卷理)已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,,求的取值范围.
【答案】(1)极小值为,无极大值.(2)
【详解】(1)当时,,
故,
因为在上为增函数,
故在上为增函数,而,
故当时,,当时,,
故在处取极小值且极小值为,无极大值.
(2),
设,
则,
当时,,故在上为增函数,
故,即,
所以在上为增函数,故.
当时,当时,,
故在上为减函数,故在上,
即在上即为减函数,
故在上,不合题意,舍.
当,此时在上恒成立,
同理可得在上恒成立,不合题意,舍;综上,.
4.(2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时,.
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
(2)方法一:结合(1)中结论,将问题转化为的恒成立问题,构造函数,利用导数证得即可.
方法二:构造函数,证得,从而得到,进而将问题转化为的恒成立问题,由此得证.
【详解】(1)因为,定义域为,所以,
当时,由于,则,故恒成立,
所以在上单调递减;
当时,令,解得,
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增;
综上:当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)方法一:
由(1)得,,
要证,即证,即证恒成立,
令,
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