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第01讲函数的概念及其表示
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:函数的概念 4
知识点2:函数的三要素 4
知识点3:函数的表示法 5
知识点4:分段函数 5
解题方法总结 6
题型一:函数的概念 7
题型二:同一函数的判断 9
题型三:给出函数解析式求解定义域 12
题型四:抽象函数定义域 13
题型五:函数定义域的综合应用 15
题型六:待定系数法求解析式 17
题型七:换元法求解析式 19
题型八:方程组消元法求解析式 21
题型九:赋值法求解析式 23
题型十:求值域的7个基本方法 26
题型十一:数形结合求值域 33
题型十二:值域与求参问题 36
题型十三:判别式法求值域 39
题型十四:三角换元法求值域 42
题型十五:分段函数求值、求参数问题 44
题型十六:分段函数与方程、不等式 46
04真题练习·命题洞见 47
05课本典例·高考素材 48
06易错分析·答题模板 51
易错点:错求抽象函数的定义域 51
答题模板:求抽象函数的定义域 51
考点要求
考题统计
考情分析
(1)了解函数的含义,会求简单函数的定义域和值域.
(2)在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
(3)了解简单的分段函数,并会简单的应用.
2024年上海卷第2题,5分
2024年I卷第8题,5分
2023年北京卷第15题,5分
2022年浙江卷第14题,5分
2021年浙江卷第12题,5分
高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.高考对本节的考查不会有大的变化,仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主,综合考查不等式与函数的性质.
复习目标:
1、掌握函数的概念,了解构成函数的要素
2、会求常见函数的定义域和值域
3、掌握求函数解析式的方法
知识点1:函数的概念
(1)一般地,给定非空数集,,按照某个对应法则,使得中任意元素,都有中唯一确定的与之对应,那么从集合到集合的这个对应,叫做从集合到集合的一个函数.记作:,.集合叫做函数的定义域,记为,集合,叫做值域,记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
【诊断自测】下列图象中,y不是x的函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】任作一条垂直于x轴的直线,移动直线,
根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点,
结合选项可知D不满足要求,因此D中图象不表示函数关系.
故选:D.
知识点2:函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.
【诊断自测】下列四组函数:①;②;③;④;其中表示同一函数的是(
)
A.②④ B.②③ C.①③ D.③④
【答案】B
【解析】①,两个函数对应法则不一样,不是同一函数;
②,两个函数定义域和对应法则一样,是同一函数;
③,两个函数定义域和对应法则一样,是同一函数;
④,两个函数定义域不一样,不是同一函数.
故选:B.
知识点3:函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
【诊断自测】已知函数,则(
)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令,则,由于,则,
可得,
所以.
故选:B.
知识点4:分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
【诊断自测】(2024·吉林·模拟预测)已知若,则实数的值为(
)
A.1 B.4 C.1或4 D.2
【答案】B
【解析】当时,,则,解得:(舍去);
当时,,则,解得:.
故选:B.
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的正切的定义域是且;
(6)已知的定义域求解的定义域,或已知的定义域求的定义域,遵循两点:①定义域是指自变量的取值范围;②在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同;
(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.
2、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是:当时,值域为;当时,值域为.
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
题型一:函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是(
)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A选项,
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