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第03讲等式与不等式的性质
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:比较大小基本方法 4
知识点2:不等式的性质 5
解题方法总结 6
题型一:不等式性质的应用 6
题型二:比较数(式)的大小与比较法证明不等式 8
题型三:已知不等式的关系,求目标式的取值范围 11
题型四:不等式的综合问题 13
题型五:糖水不等式 15
04真题练习·命题洞见 18
05课本典例·高考素材 19
06易错分析·答题模板 21
易错点:多次使用同向相加性质,扩大了取值范围 21
答题模板:利用不等式的性质求代数式的范围 21
考点要求
考题统计
考情分析
(1)掌握等式性质.
(2)会比较两个数的大小.
(3)理解不等式的性质,并能简单应用.
2022年II卷第12题,5分
高考对不等式的性质的考查相对较少,考查内容、频率、题型难度均变化不大,单独考查的题目虽然不多,但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点,是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据,所以它不仅是数学中的不可或缺的工具,也是高考考查的一个重点内容.
复习目标:
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.
2、理解等式与不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用.
知识点1:比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
【诊断自测】(2024·北京丰台·二模)若,且,则(
)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于,取,,,无法得到,,故AB错误,
取,则,无法得到,C错误,
由于,则,所以,
故选:D
知识点2:不等式的性质
(1)基本性质
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
【诊断自测】(2024·陕西·模拟预测)已知,则以下错误的是(
)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
对于A,,,,
综上可得,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,当时,,故D错误;
故选:D.
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.
2、比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是:
(1)作差;(2)变形;(3)判断差式与0的大小;(4)下结论.
作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是:
(1)作商;(2)变形;(3)判断商式与1的大小;(4)下结论.
其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法,如果要比较的两数(式)均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法.
题型一:不等式性质的应用
【典例1-1】(2024·北京海淀·二模)设,且,则(
)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A,取,则,故A错误,
对于B,,则,故B错误,
对于C,由于,故在单调递减,故,因此,
由于,所以,故,C正确,
对于D,,则,故D错误,
故选:C
【典例1-2】(多选题)(2024·高三·湖南常德·期末)已知,则下列不等式一定成立的是(
)
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】∵,∴即,∴,A正确;
由基本不等式知:,当且仅当时等号成立
又,∴
∴即,当且仅当时等号成立;
已知,故,B正确;
令,,C错误;
令,,分母为零无意义,D错误.
故选:AB.
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立,需要给出推理或者反例说明.
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断.
3、小题可以利用特殊值排除法.
【变式1-1】(2024·北京房山·一模)已知,则下列命题为假命题的是(
)
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】D
【解析】对于A,因为,所以,故A结论正确;
对于B,当时,因为幂函数在上单调递增,所以,故B结论正确;
对于C,因为,所以,
而函数为减函数,所以,故C结论正确;
对于D,,
因为,所以,
所以,所以,故D结论错误.
故选:D.
【变式1-2】(2024·北京西城·一模)设,其中,则(
)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由,故,故,
由对勾函数性质可得,
,且,
综上所述,有.
故选:C.
题型二:比较数(式)的大小与比较法证明不等式
【典例2-1】已知且,,,则与的大小关系为.
【答案
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