2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第13讲 函数与方程及函数模型的应用（精讲）（含解析）.doc

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第13讲函数与方程及函数模型的应用（精讲）

①求函数的零点和零点所在区间问题

②与零点有关的参数问题

③二分法的应用

④常见函数模型①-二次函数和分段函数

⑤常见函数模型②-指对幂函数

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

（1）定义：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

（2）用二分法求函数零点近似值的步骤

①确定区间，验证，给定精度.

②求区间的中点.

③计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

④判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）

五、几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

，为常数且

反比例函数模型

，为常数且

二次函数模型

，，为常数且

指数函数模型

，，为常数，，，

对数函数模型

，，为常数，，，

幂函数模型

，为常数，

六、解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;

(3)解模：求解数学模型，得出结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型一求函数的零点和零点所在区间问题】

1.确定函数零点个数的方法

2.判断函数零点所在区间的方法

【典例1】（单选题）（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（????）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据零点的定义即可求解.

【详解】令，得，则．

故选：A

【典例2】（单选题）（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.

【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，

可知在内单调递增，

且，

所以函数的唯一一个零点所在的区间是.

故选：B.

一、单选题

1．（2024高二下·湖南·学业考试）函数的零点是（????）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】令，求解方程即得.

【详解】由，设，则得，

解得，从而，所以.

故选：C.

2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理进行求解.

【详解】由已知，可知为增函数，

且，

，

根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.

故选：B

3．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】利用三角函数的性质求解即可.

【详解】令，得，则；

故，，

所以在共有4个零点，

故选：C.

4．（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

先分段写出的解析式，然后分类求方程的根即可.

【详解】令，则

，

当时，若，得，符合；

当时，若，得，符合；

当时，若，得，符合；

故函数的零点个数为.

故选：C.

5．（2023·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（????）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.

【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，

而函数是奇函数，则有，

所以.

故选：D

6．（2023·北京·模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据x的取值范围不同，分别解出根即可得出答案.

【详解】当时，，当时，解得；

当时，，其中，，

当时，解得，综上k的最大值是1.

故选：C.

7．（22-23高一上·四川凉山·期末）函