2021年复旦大学自主招生数学试卷含答案.docx

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2021年复旦大学自主招生数学试卷

一、综合题(本大题共13小题)

1、命题p:“△ABC的内心与外心重合”是命题q:“△

2、已知f(x)周期为1,则命题p:“f(x)+f(x+3)=2”是命题q:“f(x)恒为

3、AD是△ABC的角平分线,AB=3,AC=8,BC=7,求AD

4、求x2

5、已知0?n?18,19m+n则n=?

6、已知F1,F2分别是椭圆的左右焦点,B为椭圆上一点,延长F1B到点A,满足BF

结论1:AF1⊥BH;结论

7、若gx=x+x+2?

8、方程18x+4y+9z=2021的正整数解有多少组?

9、确定曲线x+y=2

10、求由曲线x+y?

11、求极坐标ρ=θ的曲线轨迹.

12、若数列an满足4an+2

13、求展开式2x

1、【答案】充要条件.

;

【解析】设O为△ABC的内心和外心,过O作三边垂线,垂足分别记为P、Q、R

因为∠QAO=∠OAR

又∠PCO=∠RCO

所以∠BAC=

同理∠BAC=

所以p是q的充要条件.

2、【答案】必要不充分条件.

;

【解析】必要性显然成立.下面构造函数:

f(x)=0,x∈

故为必要不充分条件.

3、【答案】243

;

【解析】方法一:cos?

所以∠BAC=π3

所以AD=24

方法二:cos?

所以∠BAC=π3

所以12×3×8×sin

4、【答案】1680.

;

【解析】由题可知:展开式的通项为C8

∴2r+2p=4(8?3r?p),即7r+3p=16,

又r,p∈N,所以r=1,p=3

所以常数项为C8

5、【答案】1;

【解析】由题可知∵73

所∴n=1.

6、【答案】证明见解析.

;

【解析】由题可知:因为BF1=BA.AF1的中点为H,所以A

7、【答案】x∈1

;

【解析】分段讨论:

由题意,g(x)=1

下面解不等式0gx

(1)若x?0,则g(x)=1

(i)当?1?x?0时,0gx=14x?1

(ii)当?2?x?1时,0gx=14x?2

(iii)当x?2时,g(x)1

(iV)当x=0时,gx

(2)若x0,则g(x)=1

设x=k+α,其中k∈N,α∈

则g(x)=1

(i)当12?α1时,0gx=1

(ii)当0?α12时,0gx

综上所述,不等式0gx1的解集为

因此,不等式0gfx1

解得x∈1

8、【答案】3080组.

;

【解析】由题意,18x+4y+9z≡2021

即4y≡5mod9,故y=9r+8,r∈

代入原方程得:2x+4r+z=221,①

则2x+4r+z=221mod4,即2x+z=1

故z=4s+1x=2p+1或z=4s+3x=2p+1,其中s

(注:这里第一个取x=2p+1是为了保证p∈

代入方程①可得:p+r+s=54或p+r+s=54,其中r,s,p∈N

(注:两类不同的解,转化后形式一致)

用隔板法可得该不定方程的解共有2C

9、【答案】该曲线是以(3,?6)为焦点,x+y=0为准线,离心率为22

;

【解析】易得x+y2

则22

由椭圆的第二定义可知,该曲线是以(3,?6)为焦点,x+y=0为准线,离心率为22

10、【答案】4arccos

;

【解析】如图,围成图象为绿色部分,

则所求面积S=4S

因为OE=OD=π,OA=

所以S△

由余弦定理得cos?∠AOC=

所以sin?∠AOB=

所以S扇OAB

所以S=2π?4

=4arccos

11、【答案】ρ=aθ+b(a≠0).

;

【解析】该曲线轨迹为阿基米德螺线.(阿基米德螺线的极坐标方程为ρ=aθ+b(a≠0)).

12、【答案】12

;

【解析】令bn=4

特征方程为x2

所以x1=?6,

所以通项为bn

则b1

所以an

又因为c1

所以c1=0,

故an

则limn→+

13、【答案】2t

;

【解析】设x=t

所以只需要求2t

整理得2t

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