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第二章平面向量及其运算
6.1.2正弦定理
情境引入
考古专家发现一块类似三角形刀状玉佩,其一角已破损.
为了复原,请计算原玉佩另两边的长(精确到0.01cm).
(1)三内角的关系:
(2)三条边的关系:
(3)边角对应关系:大角对大边,小角对小边.
知识回顾
新知探究
问:已知三角形两角及任意一边,能求其余边角吗?
已知两边及一边的对角,能求其他边角吗?
知识回顾
新知探究
新知探究
温故知新
是否还有三角形满足
?
对其他三角形是
否也成立呢?
新知探究
定理推导
C
A
B
新知探究
定理推导
新知探究
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
(1)从结构看:
各边与其对角的正弦对应成比例,体现了数学的和谐美.
(2)从方程的观点看:
三个方程,每个含有四个量,知其三求其一.
定理形成
(3)从功能上看:
刻画了边角的对应关系.
例题讲解
例1
(1)由正弦定理,得
解
已知两角及任意一边,
可求其余边角.
例题讲解
例2
由正弦定理,得
解
已知两边及一边
的对角,可求其
余边角.
例题讲解
由正弦定理,得
例3在中,已知
解
解不是唯一
例题讲解
归纳延伸
正弦定理可以处理解三角形的两类问题:
(1)已知两内角与任一边,求其他两边和一角;
唯一解
(2)已知两边与其中一边的对角,求另一边的对
角(从而进一步求出其他的边和角).
可能不唯一
例4某地出土了一块古代玉佩(如图),其一角已破损.
为了复原,请计算原玉佩两边的长(精确到0.01cm).
例题讲解
例题讲解
由计算器算得:
同理可得:
例题讲解
例5
解
你能推出三角形的面积公式吗?
A
B
C
例题讲解
三角形面积推导
三角形的面积公式:
同理
A
B
C
例题讲解
例6
证明
对锐角三角形和钝角三角
形,结论是否还成立?
B
A
C
例题讲解
例6
证明
A
C
B
例题讲解
例6
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
A
C
B
例题讲解
例7
解
b=
2
a
=
3
60
°
A
B
C
课堂小结
推导正弦定理结论的过程中渗透了研究问题的思想方法:从特殊到一般.
正弦定理解决两类问题:
(1)已知两内角及一边,求另外两边和一角;
(2)已知两边和一边的对角,求另外两内角
和一边.
正弦定理:
一个定理
两类问题
一种思想
一个公式
面积公式:
课后作业
课后作业
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