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第四章三角恒等变换4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标在三角函数中,我们学习了哪些基本的三角函数公式???
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标任意角的三角函数?设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)?sinα=ycosα=x∴P点坐标为(cosα,sinα).
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标两个向量的数量积?
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温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标cos15°=?15°可以用哪两个特殊角表示?cos15°=cos(45°-30°)cos(45°-30°)=cos45°-cos30°成立吗?cos15°≠cos45°-cos30°
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标猜想设α,β为两个任意角,你能判断cos(α-β)=cosα-cosβ恒成立吗?显然cos(60°-30°)≠cos60°-cos30°,因此对任意角α、β,cos(α-β)=cosα-cosβ不成立.
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标探究如何用任意角α、β正弦、余弦来表示cos(α-β)?我们来仔细想想,cos30°=cos(60°-30°),cos60°=cos(120°-60°),大家大胆猜想一下怎么用120°、60°、30°的正弦值、余弦值表示使得此式左右恒等呢?
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标问题我们设想cos(α-β)的值与α,β的三角函数值有一定关系,观察下表中的数据,你有什么发现?
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标一般地,你猜想cos(α-β)等于什么?cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标对于任意的α,β均有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ对公式的说明应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差,还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的,而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来,充分体现了向量在数学中的桥梁作用.
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标设P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)则|PQ|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2.=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)在△CPQ中,∴|PQ|2=|OP|2+|OQ|2-2|OP||OQ|cos∠POQ∴|PQ|2=1+1-2cos(α-β),cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标两角差的余弦公式对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ称为差角的余弦公式,记作:C(α-β)形式C(α-β)=CC+SS口诀余(弦)余(弦)正(弦)正(弦)异相连.
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标思考由C(α-β)公式出发,你能推导出两角和的余弦公式吗?cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ换元cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)转化cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ和角的余弦公式简记为C(α+β)
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ注意(1)上述公式中的α、β都是任意角.(2)公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反.
温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标例1利用差角余弦公式求cos15°的值.?
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温故知新情境引入和差角余弦和差角余弦应用归纳小结检测达标例2求值(1)cos53°cos23°+sin53°sin23°;
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