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第02讲函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
TOC\o1-2\h\z\u01模拟真题练 2
题型一:单调性的定义及判断 2
题型二:复合函数单调性的判断 3
题型三:分段函数的单调性 4
题型四:利用函数单调性求函数最值 6
题型五:利用函数单调性求参数的范围 8
题型六:利用函数的单调性比较函数值大小 9
题型七:函数的奇偶性的判断与证明 11
题型八:已知函数的奇偶性求参数 13
题型九:已知函数的奇偶性求表达式、求值 14
题型十:奇函数的中值模型 16
题型十一:利用单调性与奇偶性求解函数不等式 18
题型十二:函数对称性的应用 20
题型十三:函数周期性的应用 22
题型十四:对称性与周期性的综合应用 24
题型十五:类周期与倍增函数 28
题型十六:抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 30
02重难创新练 32
03真题实战练 41
题型一:单调性的定义及判断
1.下列函数在上单调递减的是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A,函数在区间上是增函数,故A不正确;
对于B,函数在区间上是减函数,故B正确;
对于C,函数在上是增函数,故C不正确;
对于D,函数在上是增函数,故D不正确.
故选:B.
2.(2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末)设函数,则(???)
A.是偶函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在上单调递减
C.是偶函数,且在上单调递增 D.是奇函数,且在上单调递减
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为R,且,
所以是奇函数,又,作出函数图象如下图:
由图知,函数在和上单调递增,在上单调递减.
故选:B
3.(2024·高三·上海静安·期中)已知函数,且.
(1)求的值,并指出函数的奇偶性;
(2)在(1)的条件下,运用函数单调性的定义,证明函数在上是增函数.
【解析】(1)因为,又,所以,
所以,,
此时,所以为奇函数;
(2)任取,则
,
因为,所以,所以,
所以即,
所以函数在上是增函数.
题型二:复合函数单调性的判断
4.函数的单调递增区间是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意,令,
解得,即函数的单调递增区间是.
故选:D.
5.函数的单调增区间为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,则,解得或,
所以的定义域为,
又开口向上,对称轴为,在上单调递增,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为在上单调递减,
所以在上单调递增,在上单调递减,
即的单调增区间为.
故选:A.
6.已知函数在上单调递减,则实数a的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得函数在上单调递减,且在上恒成立,
所以,解得,
故a的取值范围是.
故选;B.
题型三:分段函数的单调性
7.(2024·高三·云南大理·期中)已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数满足对任意的实数,都有成立,
不妨设,则,则,即,
则函数在上为减函数,则,解得,
因此,实数的取值范围是,
故选:D.
8.已知函数满足对于任意实数,都有成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意,对于任意实数,都有成立,
不妨设,则,
所以在上单调递减,
所以,解得.
故选:D
9.已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意,函数是增函数,则,即;
由,求导得,函数在上单调递增,
于是在上恒成立,因此在上恒成立,即;
又函数在上单调递增,则,从而,所以实数的取值范围是.
故选:B
10.(2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试)已知,且,函数在上单调,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数在上单调,
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意,
故在R上单调递减,
所以,
解得:.
故选:D.
题型四:利用函数单调性求函数最值
11.(2024·上海松江·二模)已知,函数,若该函数存在最小值,则实数的取值范围是.
【答案】或
【解析】由题意,令,,,,
当时,在上单调递减,在上单调递减,则在上的值域为,
因为存在最小值,故需,解得,
结合,此时;
当时,在上单调递减,在上单调递增,则在上的值域为,
因为存在最小值,故需,即,解得,
这与矛盾;
当时,在上单调递减,且在上的值域为,,此时存在最小值2;
则实数的取值范围为或.
故答案为:或.
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