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第04讲基本不等式及其应用
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:基本不等式 4
解题方法总结 4
题型一:基本不等式及其应用 5
题型二:直接法求最值 8
题型三:常规凑配法求最值 9
题型四:化为单变量法 11
题型五:双换元求最值 12
题型六:“1”的代换求最值 15
题型七:齐次化求最值 17
题型八:利用基本不等式证明不等式 20
题型九:利用基本不等式解决实际问题 22
题型十:与a+b、平方和、ab有关问题的最值 25
题型十一:三角换元法 28
题型十二:多次运用基本不等式 32
题型十三:待定系数法 35
题型十四:多元均值不等式 36
题型十五:万能K法 38
题型十六:与基本不等式有关的恒(能)成立问题 41
题型十七:基本不等式与其他知识交汇的最值问题 43
题型十八:整体配凑法 45
04真题练习·命题洞见 47
05课本典例·高考素材 50
06易错分析·答题模板 52
易错点:忽视基本不等式应用条件 52
答题模板:利用基本不等式求最值(和定或积定) 52
考点要求
考题统计
考情分析
(1)了解基本不等式的推导过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最值问题.
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用.
2022年II卷第12题,5分
2021年乙卷第8题,5分
2020年天津卷第14题,5分
高考对基本不等式的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题.
复习目标:
1、掌握基本不等式的内容.
2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题.
3、会用基本不等式解决实际问题.
知识点1:基本不等式
如果,那么,当且仅当时,等号成立.其中,叫作的算术平均数,叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式1:若,则,当且仅当时取等号;
基本不等式2:若,则(或),当且仅当时取等号.
注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”;其中“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指满足等号成立的条件.(2)连续使用不等式要注意取得一致.
解题方法总结
1、几个重要的不等式
(1)
(2)基本不等式:如果,则(当且仅当“”时取“”).
特例:(同号).
(3)其他变形:
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式:
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2、均值定理
已知.
(1)如果(定值),则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”.
(2)如果(定值),则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值,和有最小值”.
3、常见求最值模型
模型一:,当且仅当时等号成立.
模型二:,当且仅当时等号成立.
模型三:,当且仅当时等号成立.
模型四:,当且仅当时等号成立.
题型一:基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是(
)
A.若,则
B.若x>0,y>0,则
C.若x<0,则
D.若x<0,则
【答案】D
【解析】∵可能为负数,如时,,∴A错误;
∵可能为负数,如时,,∴B错误;
∵,如时,,∴C错误;
∵,,,∴,当且仅当,即等号成立,∴D正确.
故选:D.
【典例1-2】(2024·辽宁·二模)数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形,在等腰直角三角形中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设,,用该图形能证明的不等式为(
).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图知:,
在中,,
所以,即,
故选:C
【方法技巧】
熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证.
【变式1-1】下列结论正确的是(
)
A.当时, B.当时,的最小值是
C.当时, D.当时,的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A,当时,,故A错误,
对于B,当时,,当且仅当时等号成立,故B错误,
对于C,当时,,当且仅当即时等号成立,故C正确,
对于D,当时,,当且仅当即时等号成立,故D错误,
故选:C
【变式1-2】(2024·黑龙江哈尔滨·三模)已知x,y都是正数,且,则下列选项不恒成立的是(
)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】x,y都是正数,
由基本不等式,,,,这三个不等式都是当且仅当时等号成立,而题中,因此等号都取不到,所以ABC三个不等式恒成立;
中当且仅当时取等号,如即可取等号,D中不等式不恒成立.
故选:D.
【变式1-
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