2025年高考数学一轮复习 讲练测第03讲 导数与函数的极值、最值（七大题型）（练习）（含解析）.doc

第03讲导数与函数的极值、最值

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：求函数的极值与极值点 2

题型二：根据极值、极值点求参数 3

题型三：求函数的最值（不含参） 6

题型四：求函数的最值（含参） 7

题型五：根据最值求参数 11

题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 13

题型七：不等式恒成立与存在性问题 16

02重难创新练 18

03真题实战练 33

题型一：求函数的极值与极值点

1．已知函数，当时，求的极值.

【解析】易知的定义域为，

由可得，

当时，，

令可得；

因此当时，，此时在上单调递减，

当时，，此时在上单调递增，

因此在处取得极小值；

所以的极小值为，无极大值.

2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性，并求出的极小值．

【解析】（1）当时，，

则，

所以，

又知，

所以在点处的切线方程为．

（2）因为，

令，

则或，

所以当时，，

当或时，．

综上，在上单调递减，在和上单调递增；

所以．

3．已知，函数．证明存在唯一的极值点.

【解析】令，则，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

当时，，，当时，，

画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，

当时，，则，单调递增，

当时，，则，单调递减，

为的极大值点，故存在唯一的极值点；

题型二：根据极值、极值点求参数

4．已知函数在时有极值0，则．

【答案】11

【解析】由函数，得，

由题意得，解得或，

当时，，仅当时等号成立，

此时在R上单调递增，无极值，不符合题意；

当时，，

令，则或，令，则，

即在上均单调递增，在上单调递减，

故在处取得极小值，且，则，

即符合题意，故，

故答案为：11

5．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为.

【答案】

【解析】的定义域为，

，

令，得.

令，则.

令，则，即，即.

当时，单调递增；当时，单调递减.

，

又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，

作出的草图如图，

由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.

6．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】由函数，可得，

因为函数在上有2个极值点，即在上有两解，

即在上有两解，

令且，可得，

当时，可得，单调递增，不符合题意，（舍去）；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，取得极小值，极小值为，

要使得在上有两解，则满足，

当时，解得；

当，即，

设，其中，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又因为，所以，

所以不等式，可得，

由可得，解得，

综上可得，实数的取值范围为.

故答案为：.

7．已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为．

【答案】

【解析】对函数求导得：，

因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点．

令，有，令，，

所以与有两个交点；

当时，，，

设过原点的直线与的切点坐标为，

切线斜率为，

所以切线方程为：，

将原点坐标带入切线方程得．

此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，

即，因为，有，所以，所以；

同理知当时，，，即，所以．

综上知：的取值范围为．

故答案为：

题型三：求函数的最值（不含参）

8．函数在区间上的最大值是．

【答案】

【解析】，

则当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故.

故答案为：.

9．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为．

【答案】

【解析】，

当时，，递增；当时，，递减；

，，，

故最大值与最小值的和为：．

故答案为：

10．函数在区间上的最大值是；最小值是．

【答案】5

【解析】由，求导得，

而，则当时，，当时，，

因此函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，

函数在处取到极小值，

当时，，当时，，则函数在处取到极大值5

所以函数在区间上的最大值是5，最小值是.

故答案为：5；

题型四：求函数的最值（含参）

11．已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)求函数在上的最小值.

【解析】（1）因为，所以，

由，得，所以；由，得，所以，

所以函数在上单调递减，在单调递增，

故在处取得极小值，也是最小值，

所以的最小值为，无最大值．

（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，

当，即时，在单调递减，

；

当时，即在单调递减，单调递增，．

当时，在单调递增，；

综上所述.

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