2025年高考数学一轮复习 讲练测第03讲 幂函数与二次函数（八大题型）（讲义）（含解析）.doc

第03讲幂函数与二次函数

目录

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：幂函数 4

知识点2：二次函数 5

解题方法总结 7

题型一：幂函数的定义及其图像 10

题型二：幂函数性质的综合应用 12

题型三：由幂函数的单调性比较大小 15

题型四：二次函数的解析式 18

题型五：二次函数的图象、单调性与最值 22

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 25

题型七：二次方程实根的分布及条件 28

题型八：二次函数最大值的最小值问题 30

04真题练习·命题洞见 35

05课本典例·高考素材 36

06易错分析·答题模板 39

易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 39

答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 40

考点要求

考题统计

考情分析

（1）幂函数的定义、图像与性质

（2）二次函数的图象与性质

2020年天津卷第3题，5分

2020年江苏卷第7题，5分

从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.

复习目标：

（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.

（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).

知识点1：幂函数

1、幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

【诊断自测】若幂函数的图象经过点，则＝（）

A． B．2 C．4 D．

【答案】C

【解析】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，

所以，所以.

故选：C

知识点2：二次函数

1、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.

（1）单调性与最值

①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；

②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.

3、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则.

【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（

）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数，求导得，

于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，

又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，

函数的图象过原点，且，显然，从而，

，所以.

故选：D

解题方法总结

1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

3、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.

根的分布

图像

限定条件

在区间内

没有实根

在区间内

有且只有一个实根

在区间内

有两个不等实根

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型一：幂函数的定义及其图像

【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（

）

A． B． C．