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第03讲幂函数与二次函数
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:幂函数 4
知识点2:二次函数 5
解题方法总结 7
题型一:幂函数的定义及其图像 10
题型二:幂函数性质的综合应用 12
题型三:由幂函数的单调性比较大小 15
题型四:二次函数的解析式 18
题型五:二次函数的图象、单调性与最值 22
题型六:二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 25
题型七:二次方程实根的分布及条件 28
题型八:二次函数最大值的最小值问题 30
04真题练习·命题洞见 35
05课本典例·高考素材 36
06易错分析·答题模板 39
易错点:解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 39
答题模板:含参二次函数在区间上的最值问题 40
考点要求
考题统计
考情分析
(1)幂函数的定义、图像与性质
(2)二次函数的图象与性质
2020年天津卷第3题,5分
2020年江苏卷第7题,5分
从近五年全国卷的考查情况来看,本节内容很少单独命题,幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合,比较幂值的大小,多以选择题、填空题出现.
复习目标:
(1)通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律.
(2)掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
知识点1:幂函数
1、幂函数的定义
一般地,(为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1; ②的底数是自变量; ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质:
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减,在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
【诊断自测】若幂函数的图象经过点,则=()
A. B.2 C.4 D.
【答案】C
【解析】设幂函数,因为的图象经过点,所以,解得,
所以,所以.
故选:C
知识点2:二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:;
(2)顶点式:;其中,为抛物线顶点坐标,为对称轴方程.
(3)零点式:,其中,是抛物线与轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线,对称轴方程为,顶点坐标为.
(1)单调性与最值
①当时,如图所示,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;
②当时,如图所示,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,
(2)与轴相交的弦长
当时,二次函数的图像与轴有两个交点和,.
3、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数,当时,在区间上的最大值是,最小值是,令:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,则.
【诊断自测】下列四个图象中,有一个图象是函数的导数的图象,则的值为(
)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数,求导得,
于是函数的图象是开口向上,对称轴为的抛物线,①②不满足,
又,即函数的图象对称轴不是y轴,④不满足,因此符合条件的是③,
函数的图象过原点,且,显然,从而,
,所以.
故选:D
解题方法总结
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下:
①当时,其图象可类似画出;
②当时,其图象可类似画出;
③当时,其图象可类似画出.
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
(1)方程有两个不等正根
(2)方程有两个不等负根
(3)方程有一正根和一负根,设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑:
(1)开口方向;(2)判别式;(3)对称轴与区间端点的关系;(4)区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根,则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
4、有关二次函数的问题,关键是利用图像.
(1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法,特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间,解法是抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论,往往分成:①轴处在区间的左侧;②轴处在区间的右侧;③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系),从而对参数值的范围进行讨论.
(2)对于二次方程实根分布问题,要抓住四点,即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型一:幂函数的定义及其图像
【典例1-1】(2024·山东日照·二模)已知幂函数图象过点,则函数的解析式为(
)
A. B. C.
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