适用于老高考旧教材2025版高考数学一轮总复习解答题专项5第2课时圆锥曲线中的定点或定值问题新人教A.docVIP

第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题

1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线

(1)求椭圆的标准方程;

(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.

2.在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切.设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)过点F的两条直线l1,l2与曲线Γ相交于A,B,C,D四点,且M,N分别为AB,CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1,k2,若k1+k2=-1,求证:直线MN恒过定点.

3.(2024山西太原一模)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,一条直线过定点M(4,0)与抛物线相交于A,B两点,且OA⊥OB.

(1)求抛物线方程.

(2)连接AF,BF并延长交抛物线于C,D两点,设△FAB和△FCD的面积分别为S1和S2,则S1S

4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆E与x轴交于A,B两点,与

(1)求椭圆E的方程;

(2)若P是椭圆E上一点(不在坐标轴上),直线PC,PD分别与x轴相交于M,N两点,设PC,PD,OP的斜率分别为k1,k2,k3,过点P的直线l的斜率为k,且k1k2=kk3,直线l与x轴交于点Q,求|MQ|-|NQ|的值.

答案：

1.解(1)直线AB的方程为xa+yb=

因为三角形OAB的面积为1,

所以12ab=1,即ab=2,解得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为x24+y2

(2)直线AB的斜率为-12,设直线l的方程为y=-12x+t,C(x1,y1),D(x2,y2),把方程y=-12x+t与x24+y2=1联立,消去x,整理得2y2-2ty+t2-1=0,Δ=(-2t)2-4×2×(t2-1)=8-

即t22,此时有y1+y2=t,y1y2=t2-12,所以k1k2=y1x1-2·y2-1x2=y1y2-y1x1x2-2x2,所以x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]=4[(y1+y2)2-(y

所以k1k2=14为定值

2.(1)解设Q(x,y),依题意可得|x+1|=(-1)2+y2,化简得

(2)证明设l1,l2的方程为y=k1(x-1),y=k2(x-1).

联立y=k1(x-1),y2=4x,得k12x2-(2k1

同理Nk22+2k22,2k2,由k1+k2=-1,所以kMN=2k1-2k2k12+2

所以直线MN的方程为y-2k1=k1(1+k1)x-k12+2k12,化简整理得y+2=k1(1+k1)(x-

3.解(1)设直线AB的方程为x=my+4,

与抛物线方程联立y2=2px,x=my+4

设A(x1,y1),B(x2,y2),

所以y1+y2=2pm,y1y2=-8p.

因为OA⊥OB,

所以OA⊥OB?OA·OB=0?x1x2+y1y2=0?(my1+4)(my2+4)

化简得(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0,

把y1+y2=2pm,y1y2=-8p代入得(m2+1)(-8p)+4m·2pm+16=0?p=2,

所以抛物线的方程为y2=4x.

(2)S1S

抛物线y2=4x的焦点F(1,0),

设直线AC的方程为x=ny+1,

与抛物线方程联立y2=4x,x=ny+1

设C(x3,y3),

所以y1y3=-4,即y3=-4

设D(x4,y4),同理可得y2y4=-4,

即y4=-4

S1

因为∠AFB=∠DFC,

所以sin∠AFB=sin∠DFC,

因为AFCF

所以S1

而y3=-4y1,y4=-4y2,y1y2

所以S1S

因此S1S

4.解(1)由题意,ca=32,且12·

又a2-b2=c2,所以a=2,b=1,

所以椭圆E的方程为x24+y2=

(2)设P(x0,y0),则x024+y02=1,即x02=4(1-y02),不妨设C(0,1),D(0,-1),直线PC:y=y0-

同理可求Nx01+y0

则k1k2=y0-1x0·y0+1x

所以直线l为y-y0=-x04y0

令y=0,得x=x0

又x024+y02=1,故x=4

易证x0

所以||MQ|-|NQ||=x01-y0+x

又x024+y02=1,即y02=1-

所以|MQ|-|NQ|=0.