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核心考点:菱形的性质

考点1菱形的定义

1.(2021?瓯海区模拟)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是()

A.AB=CD B.AD=BC C.AC=BD D.AB=BC

思路引领:由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形,再由一组邻边相等,即可得出四边形ABCD是菱形.

解:需要添加的条件是AB=BC;

理由如下:

∵四边形ABCD的对角线互相平分,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∵AB=BC,

∴平行四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形),

故选:D.

总结提升:本题考查了菱形的判定方法,熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法,并能进行推理论证是解决问题的关键.

2.如图所示,在△ABC中,AB≠AC,D是BC上一点,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,要使四边形AEDF是菱形,只需添加的条件是()

A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.BD=DC D.AD=BD

思路引领:由题意可得,四边形AEDF是平行四边形,因为△ABC不是等腰三角形,所以添加A、C都不能使四边形AEDF是菱形;添加B,可证∠EAD=∠EDA,则AE=DE,即平行四边形AEDF是菱形.

解:∵DE∥CA,DF∥BA,

∴四边形AEDF是平行四边形,

∴∠EAF=∠EDF,

利用选项B中,∠BAD=∠CAD,

∴∠EAD=∠EDA,

∴AE=DE,

即平行四边形AEDF是菱形.

故选:B.

总结提升:此题主要考查了菱形的判定,菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

考点2菱形的性质

3.(2014?珠海)边长为3cm的菱形的周长是()

A.6cm B.9cm C.12cm D.15cm

思路引领:利用菱形的各边长相等,进而求出周长即可.

解:∵菱形的各边长相等,

∴边长为3cm的菱形的周长是:3×4=12(cm).

故选:C.

总结提升:此题主要考查了菱形的性质,利用菱形各边长相等得出是解题关键.

4.(2013?临沂)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是33.

思路引领:首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形,再根据三角函数计算出AE=EF的值,再过A作AM⊥EF,再进一步利用三角函数计算出AM的值,即可算出三角形的面积.

解:∵四边形ABCD是菱形,

∴BC=CD,∠B=∠D=60°,

∵AE⊥BC,AF⊥CD,

∴BC×AE=CD×AF,∠BAE=∠DAF=30°,

∴AE=AF,

∵∠B=60°,

∴∠BAD=120°,

∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°,

∴△AEF是等边三角形,

∴AE=EF,∠AEF=60°,

∵AB=4,

∴AE=AB×sin60°=23,

∴EF=AE=23,

过A作AM⊥EF,

∴AM=AE?sin60°=3,

∴△AEF的面积是:12EF?AM=12×23×

故答案为:33.

总结提升:此题考查菱形的性质,等边三角形的判定及三角函数的运用.关键是掌握菱形的性质,证明△AEF是等边三角形.

5.(2021?商河县校级模拟)如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是()

A.18﹣3π B.18-3π C.323-16π D.183

思路引领:由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF,图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积,根据面积公式计算即可.

解:∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,

∴AD=AB=8,∠ADC=180°﹣60°=120°,

∵DF是菱形的高,

∴DF⊥AB,

∴DF=AD?sin60°=8×32=

∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积=8×43-120?π×(43)2

故选:C.

总结提升:本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.

6.(2021?槐荫区二模)如图,菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=3,Q是CD边上一动点,将四边形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′.当CA′的长度最小时,CQ的长为()

A.5 B.7 C.8 D.6.5

思路引领:作CH⊥AB于H,如图,根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=32AB=43,AH=BH=4,在Rt△CHP中,利用勾股定理计算出CP=7,再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心,PA为半径的弧

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