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2024年北京大学“物理卓越计划”选拔考试数学试题
1.求满足10(xy+yz+zx)=9xyz(x≤y≤z)的所有正整数解.
2.若x2?xy?6y2=1,求x2+xy+y2的最小值.
3.已知数列{an}满足am+n=a2m+a2n)?(m?n)2,a0=11,a1=11,求a2023.
4.函数y=x3+ax的图像有唯一内接正方形,求a与正方形的边长.
5.求单位正方形的内接正三角形的最大面积与最小面积.
6.网球比赛,本来要求每两个人之间要比一场比赛,有三位选手每人比了2场比赛后就退出了,最后只进行了50场比赛,问退出的三位选手之间比了几场赛?
7.求积分In=∫2ndx.
8.30个同学,每个同学有23个朋友.现在定义好三角组为选择三个同学,这三个人互相都是朋友或互相都不是朋友,问有多少个好三角组?
9.对于任意正整数m,n证明:∑
10.对于四边形ABCD,有AB=,BC=,CD=1,DA=,且有∠A=75°,求
对边中点距离之和.
北京大学2024年“物理卓越计划”选拔考试数学试题解答
【解析】:.
若,则;,所以,故.
当时,;
当时,(舍);
当时,;
故.
若,则,所以,故.
当时,(舍);
而.
综上,原方程所有解为.
2.
3.【解析】:令
记,.①
令
故.②
由①、②知:
是以2为公差的等差数列.
.
4.
【解析】
如图,正方形的边长为,不失一般性假设是其满足条件的内接正三角形,边长为,过的中点作垂足为,连,又设,
四点共圆,同理点,
必过点,是边长为1的等边三角形,
,.
.,
所以所求内接正三角形的最大面积与最小面积分别为、.
6.【解析】:设共有名选手,除去这3名,还剩下名选手.
设这3名选手之间比了场比赛().
除去这3名选手的比赛,剩余人共比赛了场.
(1)时,,不符合;
(2)时,;
由于,,故符合;
(3)时,,不符合;
所以,时,满足条件,故退出的3名选手之间比赛了1场。
7.
8.【答案】:2080个
【解析】:
【解析】:以为轴正反向建立平面直角坐标系,所以得出
为以为圆心,半径等于的圆与以为圆心,半径等于1的圆的交点,存在两个.
设
化简得:
所以,中点为,中点为,
中点为,中点为
所以中点为
所以
则当时,;
当时,;
综上,对边中点距离之和为或。
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