2024 年北京大学 “物理卓越计划” 选拔考试数学试卷含答案.docxVIP

2024年北京大学“物理卓越计划”选拔考试数学试题

1.求满足10(xy+yz+zx)=9xyz(x≤y≤z)的所有正整数解.

2.若x2?xy?6y2=1,求x2+xy+y2的最小值.

3.已知数列{an}满足am+n=a2m+a2n)?(m?n)2,a0=11,a1=11,求a2023.

4.函数y=x3+ax的图像有唯一内接正方形,求a与正方形的边长.

5.求单位正方形的内接正三角形的最大面积与最小面积.

6.网球比赛,本来要求每两个人之间要比一场比赛,有三位选手每人比了2场比赛后就退出了,最后只进行了50场比赛,问退出的三位选手之间比了几场赛?

7.求积分In=∫2ndx.

8.30个同学,每个同学有23个朋友.现在定义好三角组为选择三个同学,这三个人互相都是朋友或互相都不是朋友,问有多少个好三角组?

9.对于任意正整数m,n证明：∑

10.对于四边形ABCD,有AB=,BC=,CD=1,DA=,且有∠A=75°,求

对边中点距离之和.

北京大学2024年“物理卓越计划”选拔考试数学试题解答

【解析】：.

若，则；，所以，故.

当时，；

当时，（舍）；

当时，；

故.

若，则，所以，故.

当时，（舍）；

而.

综上，原方程所有解为.

2.

3.【解析】：令

记，.①

令

故.②

由①、②知：

是以2为公差的等差数列.

.

4.

【解析】

如图，正方形的边长为，不失一般性假设是其满足条件的内接正三角形，边长为，过的中点作垂足为，连，又设，

四点共圆，同理点，

必过点，是边长为1的等边三角形，

，.

.，

所以所求内接正三角形的最大面积与最小面积分别为、.

6.【解析】：设共有名选手，除去这3名，还剩下名选手.

设这3名选手之间比了场比赛（）.

除去这3名选手的比赛，剩余人共比赛了场.

（1）时，，不符合；

（2）时，；

由于，，故符合；

（3）时，，不符合；

所以，时，满足条件，故退出的3名选手之间比赛了1场。

7.

8.【答案】：2080个

【解析】：

【解析】：以为轴正反向建立平面直角坐标系，所以得出

为以为圆心，半径等于的圆与以为圆心，半径等于1的圆的交点，存在两个.

设

化简得：

所以，中点为，中点为，

中点为，中点为

所以中点为

所以

则当时，；

当时，；

综上，对边中点距离之和为或。