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第
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第01讲导数的概念及其意义、导数的运算
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:导数的概念和几何意义 4
知识点2:导数的运算 5
解题方法总结 6
题型一:导数的定义及变化率问题 6
题型二:导数的运算 9
题型三:在点P处的切线 11
题型四:过点P的切线 13
题型五:公切线问题 15
题型六:已知切线或切点求参数问题 19
题型七:切线的条数问题 23
题型八:利用导数的几何意义求最值问题 29
题型九:牛顿迭代法 38
题型十:切线平行、垂直、重合问题 42
题型十一:奇偶函数图像的切线斜率问题 47
题型十二:切线斜率的取值范围问题 49
04真题练习·命题洞见 51
05课本典例·高考素材 54
06易错分析·答题模板 55
易错点:求曲线的切线方程时忽视点的位置 55
答题模板:求曲线过点P的切线方程 56
考点要求
考题统计
考情分析
(1)导数的定义
(2)导数的运算
(3)导数的几何意义
2024年甲卷第6题,5分
2024年I卷第13题,5分
2023年甲卷第8题,5分
2022年I卷第15题,5分
2021年甲卷第13题,5分
2021年I卷第7题,5分
高考对本节内容的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主.
复习目标:
(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
(2)通过函数图象,理解导数的几何意义.
(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.
知识点1:导数的概念和几何意义
1、概念
函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或.
知识点诠释:
①增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.的意义:与0之间距离要多近有
多近,即可以小于给定的任意小的正数;
②当时,在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与
无限接近;
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率,即.
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度,即;在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度,即.
【诊断自测】设为R上的可导函数,且,则=(????)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【答案】B
【解析】因为,
所以.
故选:B.
知识点2:导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
(为常数)
2、导数的四则运算法则
(1)函数和差求导法则:;
(2)函数积的求导法则:;
(3)函数商的求导法则:,则.
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数,的导数间关系为:
【诊断自测】求下列函数的导数:
(1);
(2).
【解析】(1).
(2)
解题方法总结
1、在点的切线方程
切线方程的计算:函数在点处的切线方程为,抓住关键.
2、过点的切线方程
设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,
又因为切线方程过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线)
注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.
3、高考常考的切线方程
(1)是的切线,同时是的切线,也是和的切线.
(2)是的切线,是y=tanx的切线.
(3)是的切线,是的切线.
题型一:导数的定义及变化率问题
【典例1-1】若函数在区间内可导,且,则的值为(????)
A. B.
C. D.0
【答案】B
【解析】由题意知,.
故选:B
【典例1-2】如图1,现有一个底面直径为高为的圆锥容器,以的速度向该容器内注入溶液,随着时间(单位:)的增加,圆锥容器内的液体高度也跟着增加,如图2所示,忽略容器的厚度,则当时,圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设注入溶液的时间为(单位:)时,溶液的高为,
则,得.
因为,
所以当时,,
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选:C
【方法技巧】
利用导数的定义,对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致,然后根据导数定义求解.
【变式1-1】(多选题)已知,在R上连续且可导,且,下列关于导数与极限的说法中正确的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】,故A错;
,故B对;
,由导数的定义知C对;
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