2025年高考数学一轮复习 讲练测第02讲 导数与函数的单调性（十二大题型）（讲义）（含解析）.doc

第02讲导数与函数的单调性

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：函数的单调性与导数的关系 4

知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤 5

解题方法总结 5

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 6

题型二：求单调区间 9

题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 11

题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 13

题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 16

题型六：不含参数单调性讨论 19

题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析 21

题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析 22

题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 23

题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 28

题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析 32

题型十二：分段分析法讨论函数的单调性 35

04真题练习·命题洞见 38

05课本典例·高考素材 40

06易错分析·答题模板 45

易错点：对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 45

答题模板：利用导数判断函数的单调性 46

考点要求

考题统计

考情分析

（1）函数的单调区间

（2）单调性与导数的关系

2023年乙卷（文）第20题，12分

2023年乙卷（理）第16题，5分

2023年II卷第6题，5分

2022年甲卷第12题，5分

2022年I卷第7题，5分

2021年浙江卷第7题，5分

高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．

复习目标：

（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．

（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

知识点1：函数的单调性与导数的关系

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

2、已知函数的单调性问题

=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（???）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图象可知，在区间上，

在区间上，

所以不等式的解集为.

故选：C

知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；

（3）求出导数的零点；

（4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；

（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.

【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为．

【答案】/

【解析】函数的定义域为，求导得，

由，得，所以的单调增区间为.

故答案为：

解题方法总结

1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．

2、若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：

单调递增；单调递增；

单调递减；单调递减．

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析