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第02讲函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:函数的单调性 4
知识点2:函数的最值 5
知识点3:函数的奇偶性 6
知识点4:函数的周期性 6
知识点5:函数的对称性 7
解题方法总结 7
题型一:单调性的定义及判断 10
题型二:复合函数单调性的判断 12
题型三:分段函数的单调性 14
题型四:利用函数单调性求函数最值 16
题型五:利用函数单调性求参数的范围 19
题型六:利用函数的单调性比较函数值大小 22
题型七:函数的奇偶性的判断与证明 24
题型八:已知函数的奇偶性求参数 28
题型九:已知函数的奇偶性求表达式、求值 30
题型十:奇函数的中值模型 32
题型十一:利用单调性与奇偶性求解函数不等式 36
题型十二:函数对称性的应用 39
题型十三:函数周期性的应用 42
题型十四:对称性与周期性的综合应用 44
题型十五:类周期与倍增函数 50
题型十六:抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 53
04真题练习·命题洞见 58
05课本典例·高考素材 61
06易错分析·答题模板 64
易错点:判断函数的奇偶性忽视定义域 64
答题模板:判断函数的奇偶性 64
考点要求
考题统计
考情分析
(1)函数的单调性
(2)函数的奇偶性
(3)函数的对称性
(4)函数的周期性
2024年II卷第8题,5分
2024年I卷第6题,5分
2024年天津卷第4题,5分
2023年I卷第4、11题,10分
2023年甲卷第13题,5分
2022年II卷第8题,5分
2022年I卷第12题,5分
2021年II卷第8题,5分
从近几年高考命题来看,本节是高考的一个重点,函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容,重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起,与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查.
复习目标:
(1)借助函数图像,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
(2)结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
(3)结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.
(4)会依据函数的性质进行简单的应用.
知识点1:函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地,设函数的定义域为,区间:
如果对于内的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值,,当时,都有,那么就说在区间上是减函数.
=1\*GB3①属于定义域内某个区间上;
=2\*GB3②任意两个自变量,且;
=3\*GB3③都有或;
=4\*GB3④图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的.
(2)单调性与单调区间
=1\*GB3①单调区间的定义:如果函数在区间上是增函数或减函数,那么就说函数在区间上具有单调性,称为函数的单调区间.
=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
(3)复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”,即在对应的取值区间上,外层函数是增(减)函数,内层函数是增(减)函数,复合函数是增函数;外层函数是增(减)函数,内层函数是减(增)函数,复合函数是减函数.
【诊断自测】(2024·高三·上海杨浦·期中)已知函数,.若成立,则下列论断中正确的是(????)
A.函数在上一定是增函数;
B.函数在上一定不是增函数;
C.函数在上可能是减函数;
D.函数在上不可能是减函数.
【答案】D
【解析】因为函数,且成立,
则函数在上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,
如,满足,但是在上不具有单调性,
故D正确,A、B、C错误.
故选:D
知识点2:函数的最值
一般地,设函数的定义域为D,如果存在实数M满足
①,都有;②,使得,则M是函数的最大值;
①,都有;②,使得,则M是函数的最小值.
【诊断自测】(2024·高三·北京·开学考试)函数的最小值为.
【答案】
【解析】设,
则,
又函数在上单调递增,
所以当,即时,
函数有最小值,
故答案为:.
知识点3:函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫
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