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第03讲导数与函数的极值、最值
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:函数的极值 4
知识点2:函数的最大(小)值 5
解题方法总结 6
题型一:求函数的极值与极值点 7
题型二:根据极值、极值点求参数 11
题型三:求函数的最值(不含参) 17
题型四:求函数的最值(含参) 20
题型五:根据最值求参数 26
题型六:函数单调性、极值、最值的综合应用 30
题型七:不等式恒成立与存在性问题 37
04真题练习·命题洞见 41
05课本典例·高考素材 44
06易错分析·答题模板 46
易错点:对f(x0)为极值的充要条件理解不清 46
答题模板:求可导函数f(x)的极值 46
考点要求
考题统计
考情分析
(1)函数的极值
(2)函数的最值
2024年I卷第10题,6分
2024年II卷第16题,15分
2024年II卷第11题,6分
2024年甲卷第21题,12分
2023年乙卷第21题,12分
2023年II卷第22题,12分
2022年乙卷第16题,5分
2022年I卷第10题,5分
2022年甲卷第6题,5分
高考对最值、极值的考查相对稳定,属于重点考查的内容.高考在本节内容上无论试题怎样变化,我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点,将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来,其余的就是具体问题的转化了.最终的落脚点一定是函数的单调性与最值,因为它们是导数永恒的主题.
复习目标:
(1)借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
(2)会用导数求函数的极大值、极小值.
(3)会求闭区间上函数的最大值、最小值.
知识点1:函数的极值
(1)函数的极小值
如果对附近的所有点都有,而且在点附近的左侧,右侧,则称是函数的一个极小值,记作.
(2)函数的极大值
函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有,而且在点附近的左侧,右侧,则称是函数的一个极大值,记作.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
(4)求极值的步骤
①先确定函数的定义域;
②求导数;
③求方程的解;
④检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值.
注:①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点.另外,极值点也可以是不可导的,如函数,在极小值点是不可导的,于是有如下结论:为可导函数的极值点;但为的极值点.
【诊断自测】(2024·辽宁·三模)下列函数中,既是定义域上的奇函数又存在极小值的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A,,,故为偶函数,不符题意;
对B,,为奇函数,
,得,
当时,时,
故的极小值,故B正确;
对C,为偶函数,不符题意;
对D,无极值,不符题意,
故选:B
知识点2:函数的最大(小)值
(1)函数在区间上有最值的条件:
如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数在区间上的最大(小)值的步骤:
①求在内的极值(极大值或极小值);
②将的各极值与和比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注:①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值;
②函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点;
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【诊断自测】函数的最小值为.
【答案】
【解析】函数,
当时,,单调递增,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,,
所以的最小值为.
故答案为:.
解题方法总结
(1)若函数在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值,且值域为,则
不等式在区间D上恒成立.
不等式在区间D上恒成立.
(3)若函数在区间D上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
(4)若函数在区间D上不存在最大(小)值,如值域为,则对不等式有解
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