2025年高考数学一轮复习 讲练测第03讲 导数与函数的极值、最值（七大题型）（讲义）（含解析）.doc

第03讲导数与函数的极值、最值

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：函数的极值 4

知识点2：函数的最大（小）值 5

解题方法总结 6

题型一：求函数的极值与极值点 7

题型二：根据极值、极值点求参数 11

题型三：求函数的最值（不含参） 17

题型四：求函数的最值（含参） 20

题型五：根据最值求参数 26

题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 30

题型七：不等式恒成立与存在性问题 37

04真题练习·命题洞见 41

05课本典例·高考素材 44

06易错分析·答题模板 46

易错点：对f(x0)为极值的充要条件理解不清 46

答题模板：求可导函数f(x)的极值 46

考点要求

考题统计

考情分析

（1）函数的极值

（2）函数的最值

2024年I卷第10题，6分

2024年II卷第16题，15分

2024年II卷第11题，6分

2024年甲卷第21题，12分

2023年乙卷第21题，12分

2023年II卷第22题，12分

2022年乙卷第16题，5分

2022年I卷第10题，5分

2022年甲卷第6题，5分

高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．

复习目标：

（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．

（2）会用导数求函数的极大值、极小值．

（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．

知识点1：函数的极值

（1）函数的极小值

如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作．

（2）函数的极大值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作．

（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

（4）求极值的步骤

①先确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程的解；

④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．

注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．

【诊断自测】（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对A，，，故为偶函数，不符题意；

对B，，为奇函数，

，得，

当时，时，

故的极小值，故B正确；

对C，为偶函数，不符题意；

对D，无极值，不符题意，

故选：B

知识点2：函数的最大（小）值

（1）函数在区间上有最值的条件：

如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

（2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤：

①求在内的极值（极大值或极小值）；

②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．

【诊断自测】函数的最小值为．

【答案】

【解析】函数，

当时，，单调递增，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，，

所以的最小值为.

故答案为：.

解题方法总结

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解