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3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形
知识点正方形的定义知1-讲11.正方形的定义定义图示数学表达式有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形∵在ABCD中,AB=BC(或AB=AD或BC=CD或AD=CD),且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°),∴ABCD是正方形
知1-讲2.图解
知1-讲3.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
知1-讲特别提醒1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:(1)一组邻边相等.(2)一个角是直角.2.正方形不仅是平行四边形,还是矩形和菱形.3.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系如图1-3-1所示.
知1-练例1如图1-3-2,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,∠A=∠C=90°.求证:四边形ABCD是正方形.解题秘方:紧扣定义中“有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形”进行判定.
知1-练证明:∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,∠A=∠C=90°,∴∠ADB=∠ABD=45°,∠CBD=∠CDB=45°,AB=AD.∴∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠A=90°,AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.此处满足了正方形定义中的三个条件.
知1-练1-1.已知在ABCD中,∠A=90°,如果再添加一个条件,可使该平行四边形是正方形,那么这个条件可以是()A.∠B=90° B.AB=CDC.AD=BC D.AB=ADD
知2-讲知识点正方形的性质21.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形的性质可以从边、角、对角线、对称性这四个方面来研究.总结如下表:
知2-讲性质图形数学表达式边对边平行,邻边互相垂直,四条边都相等∵四边形ABCD是正方形,∴CD∥AB,AD∥BC;AD⊥DC,DC⊥CB,CB⊥BA,BA⊥AD;AD=DC=CB=BA
知2-讲性质图形数学表达式角四个角都相等,都等于90°∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°对角线两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC,OB=OD;AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC
知2-讲性质图形数学表达式对称性是轴对称图形,它有四条对称轴,分别是两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的直线直线m,n,AC,BD是正方形ABCD的四条对称轴是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点点O是正方形ABCD的对称中心
知2-讲2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质对比类别边角对角线平行四边形对边平行、相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行、四条边相等对角相等对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角矩形对边平行、相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
知2-讲特别提醒正方形的特殊性质:1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.2.正方形的面积=边长平方=两条对角线乘积的一半.3.周长相等的四边形中,正方形的面积最大.
知2-练如图1-3-3,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC延长线上一点,CE=CF.例2解题秘方:从正方形中获取边、角相等的信息来解决问题.
知2-练(1)求证:△BCE≌△DCF;证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°.∴∠DCF=90°.又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.
知2-练(2)若∠BEC=60°,求∠EFD的度数.解:∵△BCE≌△DCF,∠BEC=60°,∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF,∠ECF=90°,∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=60°-45°=15°
知2-练2-1.如图,四边形ABCD是正方形,△DCE是等边三角形,AC,BD交于点O,连接AE交BD于点F,连接OE交CD于点G.
知2-练(1)求∠AED的度数;
知2-练(2)若OG=1,求△CDE的周长.解:易知OC=OD,DE=CE,∴点O,点E在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.∴G是CD的中点.∵OB=OD,OG=1,∴OG是
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