1.3正方形的性质与判定 课件 北师大版数学九年级上册.pptxVIP

3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形

知识点正方形的定义知1－讲11.正方形的定义定义图示数学表达式有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形∵在ABCD中，AB=BC(或AB=AD或BC=CD或AD=CD)，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，∴ABCD是正方形

知1－讲2.图解

知1－讲3.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系

知1－讲特别提醒1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:(1)一组邻边相等.(2)一个角是直角.2.正方形不仅是平行四边形，还是矩形和菱形.3.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系如图1-3-1所示.

知1－练例1如图1-3-2，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°．求证：四边形ABCD是正方形.解题秘方：紧扣定义中“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”进行判定.

知1－练证明：∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°，∴∠ADB=∠ABD=45°，∠CBD=∠CDB=45°，AB=AD.∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠A=90°，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形.此处满足了正方形定义中的三个条件.

知1－练1-1.已知在ABCD中，∠A=90°，如果再添加一个条件，可使该平行四边形是正方形，那么这个条件可以是()A.∠B=90° B.AB=CDC.AD=BC D.AB=ADD

知2－讲知识点正方形的性质21.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形的性质可以从边、角、对角线、对称性这四个方面来研究.总结如下表：

知2－讲性质图形数学表达式边对边平行，邻边互相垂直，四条边都相等∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AD∥BC；AD⊥DC，DC⊥CB，CB⊥BA，BA⊥AD；AD=DC=CB=BA

知2－讲性质图形数学表达式角四个角都相等，都等于90°∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°对角线两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC，OB=OD；AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC

知2－讲性质图形数学表达式对称性是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的直线直线m，n，AC，BD是正方形ABCD的四条对称轴是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点点O是正方形ABCD的对称中心

知2－讲2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质对比类别边角对角线平行四边形对边平行、相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行、四条边相等对角相等对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角矩形对边平行、相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角

知2－讲特别提醒正方形的特殊性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.2.正方形的面积=边长平方=两条对角线乘积的一半.3.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.

知2－练如图1-3-3，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.例2解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息来解决问题.

知2－练(1)求证：△BCE≌△DCF；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°.∴∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.

知2－练(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°

知2－练2-1.如图，四边形ABCD是正方形，△DCE是等边三角形，AC，BD交于点O，连接AE交BD于点F，连接OE交CD于点G.

知2－练(1)求∠AED的度数；

知2－练(2)若OG=1，求△CDE的周长．解：易知OC＝OD，DE＝CE，∴点O，点E在CD的垂直平分线上．∴OE垂直平分CD.∴G是CD的中点．∵OB＝OD，OG＝1，∴OG是