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*5一元二次方程的根与系数的关系第二章一元二次方程
知识点一元二次方程的定义知1-讲1?特别提醒1.方程必须是一元二次方程(即a≠0),且一定要化为一般形式.2.方程必须有实数根,即b2-4ac≥0.
知1-讲知识拓展:利用一元二次方程根与系数的关系讨论根的符号:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则b2-4ac≥0且x1·x20x1+x20两根同为正数x1+x20两根同为负数b2-4ac≥0且x1·x20x1+x20两根异号,且正根的绝对值大x1+x20两根异号,且负根的绝对值大
知1-讲2.与两根有关的几个代数式的恒等变形(1)x21+x22=x21+2x1x2+x22-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(3)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
知1-讲?
知1-练例1【母题教材P51习题T3】已知关于x的一元二次方程x2-6x+q=0有一个根为2,求方程的另一个根和q的值.思路导引:
知1-练?
知1-练解题归纳:已知一根,利用根与系数的关系求方程中字母的值的策略:求解此类问题时,若字母在一次项系数中,则可先用两根之积的关系求出另一根,然后代入方程求字母的值,或者用两根之和的关系求字母的值.若字母在常数项中,则可先用两根之和的关系求出另一根,然后代入方程求字母的值,或者用两根之积的关系求字母的值.
知1-练?C
知1-练[中考·随州]已知关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2,则x1+x2-x1x2的值为_____.例22
知1-练??
知1-练?1
知1-练例3已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;思路导引:
知1-练?
知1-练(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.思路导引:
知1-练?
知1-练?
知1-练3-1.[中考·襄阳]关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;解:b2-4ac=22-4×1×(3-k)=-8+4k.∵方程有两个不相等的实数根,∴-8+4k0,解得k2.
知1-练(2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.
知1-练如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4,那么方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”例4解题秘方:紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的关系解题,理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1-练(1)若关于x的一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=________;2
知1-练(2)若(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代数式4m2-5mn+n2的值;?
知1-练?
知1-练(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”,求a,b,c之间的关系.?
知1-练?
知1-练4-1.如果一元二次方程的两根相差1,那么该方程称为“差1方程”.例如x2+x=0是“差1方程”.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a0)是“差1方程”,设t=10a-b2,求t的最大值.
知1-练
知1-练
知2-讲知识点二次项系数为1的一元二次方程的性质21.以x1,x2为根的一元二次方程(未知数为x,二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.2.如果方程x2+mx+n=0的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2=-m,x1x2=n.特别解读应用性质1能求一元二次方程,应用性质2能转化记忆一元二次方程根与系数的关系.
知2-练[中考·来宾]已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是()A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=0例5
知2-练解题秘方:直接用以x1,x2为根的一元二次方程(未知数为x,二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0求解.解:由题可知所求方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0,∴所求的一元二次方程是x2-7x+12=0.答案:A
知2-练5-1.[中考·淄博]若x1+x2=3,x12+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是(
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