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2024年南京大学强基计划数学笔试试卷
考试时间:6月16日14:00-15:30
数学共12道题,满分100分.
1.已知的三条边长,复数,满足,,,则为________数.
2.双曲线,过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B,C,D,若ABCD构成正方形,求双曲线的离心率为________.
3.已知函数,对于,恒成立,求的最大值是________.
4.过点作抛物线的切线交轴于点,焦点为,则四边形的面积为________.
5.四面体棱长为4,7,20,22,28,t,,求t最小值是________.
6.存在集合的一族子集两两交集非空,那么这族子集最多有________个.
7.已知,,判断是否存在最大值和最小值,若存在,请求解出最大值和最小值.
8.满足非零有理系数多项式的最低次数为________.
9.已知,的最大项是________.
10.已知,,x为个位数,求________.
11.已知,若,满足最小k为________.
12.集合为120倍数,求S的元素个数为________.
2024年南京大学强基计划数学笔试试卷
考试时间:6月16日14:00-15:30
数学共12道题,满分100分.
1.已知的三条边长,复数,满足,,,则为________数.
【答案】虚
【分析】利用,化简转化为实系数一元二次方程,根据根的判别式得到为虚数.
【详解】
,
故,
方程两边同乘以得,,
这是一个关于的实系数一元二次方程,
又三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
且
,
故为虚数(当且仅当,即为直角三角形时,为纯虚数)
故答案为:虚
【点睛】关键点点睛,将两边平方,转化为实系数一元二次方程,结合根的判别式进行求解
2.双曲线,过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B,C,D,若ABCD构成正方形,求双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】根据题意表示出,再由化简可求出离心率.
【详解】,
当时,,,
则,所以,
所以,
因为为正方形,所以,
所以,化简得
所以,
所以,解得,
因为,所以
故答案为:
3.已知函数,对于,恒成立,求的最大值是________.
【答案】
【分析】根据题目得到,从而,故,换元后得到结合基本不等式求出最值.
【详解】恒成立,
,
,,
,
令,则,
所以
,
当且仅当,即,时,等号成立.
故答案为:
4.过点作抛物线的切线交轴于点,焦点为,则四边形的面积为________.
【答案】
【分析】利用导数求出点处切线的斜率,即可得到切线方程,从而求出点坐标,再求出焦点坐标,即可得到四边形的面积.
【详解】当时,,则,则,
所以切线方程为,即,
令,解得,所以,又抛物线的焦点,
所以.
故答案为:
5.四面体棱长为4,7,20,22,28,t,,求t的最小值是________.
【答案】9
【分析】利用三角形任意两边的和大于第三边可得长为4和28的棱必为相对棱,为四面体的一个表面三角形三边,求出的范围得解.
【详解】由,得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边,
则长为4和28的棱必为四面体的相对棱,又,则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22,
因此,而,所以t的最小值是9.
故答案为:9
6.存在集合的一族子集两两交集非空,那么这族子集最多有________个.
【答案】##
【分析】设是含有个元素的子集且对应有个,且,即可得结果.
【详解】显然,这族子集不含有空集,按所含元素多少可把这族子集分为10类,
不妨设是含有个元素的子集,对应有个,
显然,一元子集至多只有一个,若不止一个,则它们的交集都是空集,不合题意,
所以,故最多有个.
故答案为:
7.已知,,判断是否存在最大值和最小值,若存在,请求解出最大值和最小值.
【答案】无最大值,最小值为4
【分析】直接将目标展开,消掉即得最小值和取等条件,关于的函数永远有根,则关于的一元二次方程单增,故没有最大值.
【详解】,,
=,当且仅当“”时取等;
,即,此时,即为任意正值,都有解,即都有这样的.
看成关于的二次单增函数,所以无最大值.
所以无最大值,最小值为4.
8.满足的非零有理系数多项式的最低次数为________.
【答案】
【分析】先对进行变形,构造出满足条件,然后证明如果非零有理系数多项式满足,则一定拥有个不同零点,从而说明的次数至少为,即可得到答案.
【详解】设.
一方面,有.
所以,故.
从而,故有.
即.
移项,合并同类项,得.
这表明非零有理系数多项式满足条件;
另一方面,若非零有理系数多项式满足,即是的一个零点.
不妨设是非零整系数多项式,否则将乘以其系数的公分母,再替换即可.
设,则据假设有
.
再设,则.
设多项式
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